Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Вычисления и метрические соотношения» для 11 класса
глава 12. Вычисления и метрические соотношения
НазадВ плоскости дан треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>1</sub> соответственно углы α<sub>3</sub>, α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>. Через точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub> проводятся прямые, образующие с &l...
Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.
Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>BC</i> угол при вершине <i>A</i> равен 80°. Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i> так, что ∠<i>MBC</i> = 30° и ∠<i>MCB</i> = 10°. Найдите величину угла <i>AMC</i>.
Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$= (<i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>+<i>c</i><sup>2</sup>)/4<i>S</i>; б) <i>a</i><sup>2</sup><i>ctg</i>$\alpha$+<i>b</i><sup>2</sup><i>ctg</i>$\beta$+<i>c</i><sup>2</sup><i>ctg</i>$\gamma$= 4<i>S</i>.