Олимпиадные задачи из источника «глава 14. Центр масс» для 10-11 класса - сложность 1-2 с решениями
Точка <i>X</i>лежит внутри треугольника<i>ABC</i>. Прямые, проходящие через точку <i>X</i>параллельно<i>AC</i>и <i>BC</i>, пересекают сторону<i>AB</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>соответственно. Докажите, что барицентрические координаты точки <i>X</i>равны(<i>BL</i>:<i>AK</i>:<i>LK</i>).
Докажите, что барицентрические координаты точки <i>X</i>, лежащей внутри треугольника<i>ABC</i>, равны(<i>S</i><sub>BCX</sub>:<i>S</i><sub>CAX</sub>:<i>S</i><sub>ABX</sub>).
Пусть задан треугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>. Докажите, что: а) любая точка <i>X</i>имеет некоторые барицентрические координаты относительно него; б) при условии<i>m</i><sub>1</sub>+<i>m</i><sub>2</sub>+<i>m</i><sub>3</sub>= 1 барицентрические координаты точки <i>X</i>определены однозначно.