Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Угол между касательной и хордой» - сложность 3 с решениями

Окружность <i>S</i>касается окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂; <i>B</i> — точка окружности <i>S</i>, а <i>K</i>₁и <i>K</i>₂ — вторые точки пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>и <i>A</i>₂<i>B</i>с окружностями <i>S</i>₁и <i>S</i>₂. Докажите, что если прямая <i>K</i>₁<i>K</i>₂касается окружнос...

Окружность <i>S</i>₁касается сторон угла <i>ABC</i>в точках <i>A</i>и <i>C</i>. Окружность <i>S</i>₂касается прямой <i>AC</i>в точке <i>C</i>и проходит через точку <i>B</i>, окружность <i>S</i>₁она пересекает в точке <i>M</i>. Докажите, что прямая <i>AM</i>делит отрезок <i>BC</i>пополам.

Через точку <i>M</i>, лежащую внутри окружности <i>S</i>, проведена хорда <i>AB</i>; из точки <i>M</i>опущены перпендикуляры <i>MP</i>и <i>MQ</i>на касательные, проходящие через точки <i>A</i>и <i>B</i>. Докажите, что величина 1/<i>PM</i>+ 1/<i>QM</i>не зависит от выбора хорды, проходящей через точку <i>M</i>.

Две окружности касаются внутренним образом в точке <i>M</i>. Пусть <i>AB</i> — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке <i>T</i>. Докажите, что <i>MT</i> — биссектриса угла <i>AMB</i>.