Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Биссектриса делит дугу пополам» - сложность 2 с решениями

Дан треугольник <i>ABC</i>. На его стороне <i>AB</i>выбирается точка <i>P</i>и через нее проводятся прямые <i>PM</i>и <i>PN</i>, параллельные <i>AC</i>и <i>BC</i>соответственно (точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>BC</i>и <i>AC</i>); <i>Q</i> — точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>APN</i>и <i>BPM</i>. Докажите, что все прямые <i>PQ</i>проходят через фиксированную точку.

Докажите, что в любом треугольнике <i>ABC</i>биссектриса <i>AE</i>лежит между медианой <i>AM</i>и высотой <i>AH</i>.

Известно, что в некотором треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины <i>C</i>, делят угол на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника.