Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Вписанный угол» для 3-7 класса - сложность 3-5 с решениями

Дан треугольник <i>ABC</i>. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.

Многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_2nвписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при <i>n</i>нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при <i>n</i>четном оставшаяся пара сторон равна по длине.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i>вписанный, причем <i>AB</i>||<i>DE</i>и <i>BC</i>||<i>EF</i>. Докажите, что <i>CD</i>||<i>AF</i>.

Две окружности пересекаются в точках<i>P</i>и<i>Q</i>. Третья окружность с центром<i>P</i>пересекает первую окружность в точках<i>A</i>и<i>B</i>, а вторую — в точках<i>C</i>и<i>D</i>. Докажите, что$\angle$<i>AQD</i>=$\angle$<i>BQC</i>.

На окружности даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>M</i>и <i>N</i>. Из точки <i>M</i>проведены хорды <i>MA</i>₁и <i>MB</i>₁, перпендикулярные прямым <i>NB</i>и <i>NA</i>соответственно. Докажите, что <i>AA</i>₁||<i>BB</i>₁.

Все углы треугольника <i>ABC</i>меньше 120^<tt>o</tt>. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120^<tt>o</tt>.