Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Угол между касательной и хордой»
параграф 3. Угол между касательной и хордой
НазадОкружность <i>S</i>касается окружностей <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>в точках <i>A</i><sub>1</sub>и <i>A</i><sub>2</sub>; <i>B</i> — точка окружности <i>S</i>, а <i>K</i><sub>1</sub>и <i>K</i><sub>2</sub> — вторые точки пересечения прямых <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i>и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i>с окружностями <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>. Докажите, что если прямая <i>K</i><sub>1</sub><i>K</i><sub>2</sub>касается окружнос...
Окружность <i>S</i><sub>1</sub>касается сторон угла <i>ABC</i>в точках <i>A</i>и <i>C</i>. Окружность <i>S</i><sub>2</sub>касается прямой <i>AC</i>в точке <i>C</i>и проходит через точку <i>B</i>, окружность <i>S</i><sub>1</sub>она пересекает в точке <i>M</i>. Докажите, что прямая <i>AM</i>делит отрезок <i>BC</i>пополам.
Через точку <i>M</i>, лежащую внутри окружности <i>S</i>, проведена хорда <i>AB</i>; из точки <i>M</i>опущены перпендикуляры <i>MP</i>и <i>MQ</i>на касательные, проходящие через точки <i>A</i>и <i>B</i>. Докажите, что величина 1/<i>PM</i>+ 1/<i>QM</i>не зависит от выбора хорды, проходящей через точку <i>M</i>.
Две окружности касаются внутренним образом в точке <i>M</i>. Пусть <i>AB</i> — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке <i>T</i>. Докажите, что <i>MT</i> — биссектриса угла <i>AMB</i>.
Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Из точки <i>A</i>к этим окружностям проведены касательные <i>AM</i>и <i>AN</i>(<i>M</i>и <i>N</i> — точки окружностей). Докажите, что: а) $\angle$<i>ABN</i>+$\angle$<i>MAN</i>= 180<sup><tt>o</tt></sup>; б) <i>BM</i>/<i>BN</i>= (<i>AM</i>/<i>AN</i>)<sup>2</sup>.
Окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>пересекаются в точке <i>A</i>. Через точку <i>A</i>проведена прямая, пересекающая <i>S</i><sub>1</sub>в точке <i>B</i>, <i>S</i><sub>2</sub>в точке <i>C</i>. В точках <i>C</i>и <i>B</i>проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке <i>D</i>. Докажите, что угол <i>BDC</i>не зависит от выбора прямой, проходящей через <i>A</i>.
Касательная в точке <i>A</i>к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>пересекает прямую <i>BC</i>в точке <i>E</i>; <i>AD</i> — биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что <i>AE</i>=<i>ED</i>.
Окружности<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>пересекаются в точках<i>A</i>и<i>B</i>. Через точку<i>A</i>проведена касательная<i>AQ</i>к окружности<i>S</i><sub>1</sub>(точка<i>Q</i>лежит на<i>S</i><sub>2</sub>), а через точку<i>B</i>-- касательная<i>BS</i>к окружности<i>S</i><sub>2</sub>(точка<i>S</i>лежит на<i>S</i><sub>1</sub>). Прямые<i>BQ</i>и<i>AS</i>пересекают окружности<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>в точках<i>R</i>и<i>P</i>. Докажите, чт...
Окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>пересекаются в точках <i>A</i>и <i>P</i>. Через точку <i>A</i>проведена касательная <i>AB</i>к окружности <i>S</i><sub>1</sub>, а через точку <i>P</i> — прямая <i>CD</i>, параллельная <i>AB</i>(точки <i>B</i>и <i>C</i>лежат на <i>S</i><sub>2</sub>, точка <i>D</i> — на <i>S</i><sub>1</sub>). Докажите, что <i>ABCD</i> — параллелограмм.
Две окружности пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Через точку <i>A</i>первой окружности проведены прямые <i>AP</i>и <i>AQ</i>, пересекающие вторую окружность в точках <i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что касательная в точке <i>A</i>к первой окружности параллельна прямой <i>BC</i>.