Олимпиадные задачи из источника «глава 20. Принцип крайнего» для 4-10 класса - сложность 2-4 с решениями
На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.
Дан выпуклый многоугольник<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>. Докажите, что описанная окружность некоторого треугольника<i>A</i><sub>i</sub><i>A</i><sub>i + 1</sub><i>A</i><sub>i + 2</sub>содержит весь многоугольник.
На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все <i>n</i>точек можно накрыть кругом радиуса 1.
На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0,<i>m</i>), (<i>n</i>, 0), (<i>n</i>,<i>m</i>), где <i>n</i>и <i>m</i> — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.
Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?
На столе расположено <i>n</i>картонных и <i>n</i>пластмассовых квадратов, причем никакие два картонных и никакие два пластмассовых квадрата не имеют общих точек, в том числе и точек границы. Оказалось, что множество вершин картонных квадратов совпадает с множеством вершин пластмассовых квадратов. Обязательно ли каждый картонный квадрат совпадает с некоторым пластмассовым?
На плоскости дано конечное число точек. Докажите, что из них всегда можно выбрать точку, для которой ближайшими к ней являются не более трех данных точек.
Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник площади 2.
На плоскости даны 2<i>n</i>+ 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что <i>n</i>из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а <i>n</i> — вне ее.
Решите задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158053">20.8</a>, воспользовавшись понятием выпуклой оболочки.
Пусть <i>O</i> — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что если радиусы вписанных окружностей треугольников<i>ABO</i>,<i>BCO</i>,<i>CDO</i>и <i>DAO</i>равны, то<i>ABCD</i> — ромб.
Докажите, что если центр вписанной окружности четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей, то четырехугольник — ромб.
Пусть <i>O</i> — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что если периметры треугольников<i>ABO</i>,<i>BCO</i>,<i>CDO</i>и <i>DAO</i>равны, то<i>ABCD</i> — ромб.
Многоугольник <i>M'</i>гомотетичен многоугольнику <i>M</i>с коэффициентом гомотетии -1/2. Докажите, что существует параллельный перенос, переводящий многоугольник <i>M'</i>внутрь многоугольника <i>M</i>.
На плоскости расположено <i>n</i>точек, причем площадь любого треугольника с вершинами в этих точках не превосходит 1. Докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.
На плоскости дано конечное число точек, причем любая прямая, проходящая через две из данных точек, содержит еще одну данную точку. Докажите, что все данные точки лежат на одной прямой (Сильвестр).
Докажите, что многоугольник нельзя покрыть двумя многоугольниками, гомотетичными ему с коэффициентом <i>k</i>, где 0 <<i>k</i>< 1.
Докажите, что в любом выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник.
Из каждой вершины многоугольника опущены перпендикуляры на стороны, её не содержащие. Докажите, что хотя бы для одной вершины одно из оснований перпендикуляров лежит на самой стороне, а не на её продолжении.
Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, опущенных из внутренней точки выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне, а не на ее продолжении.
На плоскости расположено несколько точек, все попарные расстояния между которыми различны. Каждую из этих точек соединяют с ближайшей. Может ли при этом получиться замкнутая ломаная?
На плоскости дано<i>n</i>$\ge$3 точек, причем не все они лежат на одной прямой. Докажите, что существует окружность, проходящая через три из данных точек и не содержащая внутри ни одной из оставшихся точек.
Внутри остроугольного треугольника взята точка <i>P</i>. Докажите, что наибольшее из расстояний от точки <i>P</i>до вершин этого треугольника меньше удвоенного наименьшего из расстояний от <i>P</i>до его сторон.
Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая точка <i>O</i>лежит внутри каждого из них. Докажите, что один из этих кругов содержит центр некоторого другого.