Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Свойства инверсии» для 10 класса

Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.

Через точку <i>A</i>проведена прямая <i>l</i>, пересекающая окружность <i>S</i>с центром <i>O</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>и не проходящая через <i>O</i>. Пусть <i>M'</i>и <i>N'</i> — точки, симметричные <i>M</i>и <i>N</i>относительно<i>OA</i>, а <i>A'</i> — точка пересечения прямых<i>MN'</i>и <i>M'N</i>. Докажите, что <i>A'</i>совпадает с образом точки <i>A</i>при инверсии относительно <i>S</i>(и, следовательно, не зависит от выбора прямой <i>l</i>).

Докажите, что две непересекающиеся окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

Докажите, что при инверсии с центром <i>O</i>окружность, проходящая через <i>O</i>, переходит в прямую, а окружность, не проходящая через <i>O</i>, — в окружность.

Докажите, что при инверсии с центром <i>O</i>прямая <i>l</i>, не проходящая через <i>O</i>, переходит в окружность, проходящую через <i>O</i>.

Пусть при инверсии с центром <i>O</i> точка <i>A</i> переходит в <i>A'</i>, а точка <i>B</i> – в <i>B'</i>. Докажите, что треугольники <i>OAB</i> и <i>OB'A'</i> подобны.