Олимпиадные задачи из источника «глава 28. Инверсия» - сложность 3 с решениями

В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.

Даны четыре окружности, причем окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₃пересекаются с обеими окружностями <i>S</i>₂и <i>S</i>₄. Докажите, что если точки пересечения <i>S</i>₁с <i>S</i>₂и <i>S</i>₃с <i>S</i>₄лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения <i>S</i>₁с <i>S</i>₄и <i>S</i>₂с <i>S</i>₃лежат на одной окружности или прямой (рис.). <div align="center"&g...

Докажите, что инверсия с центром в вершине <i>A</i>равнобедренного треугольника<i>ABC</i>(<i>AB</i>=<i>AC</i>) и степенью<i>AB</i>²переводит основание<i>BC</i>треугольника в дугу<i>BC</i>описанной окружности.

С помощью одного циркуля

  а) постройте точки пересечения данной окружности <i>S</i> и прямой, проходящей через данные точки <i>A</i> и <i>B</i>;

  б) постройте точку пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂, где <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂ – данные точки.

Постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной окружности (или прямой).

Постройте образ точки <i>A</i>при инверсии относительно окружности <i>S</i>с центром <i>O</i>.

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

Докажите, что при инверсии с центром <i>O</i>окружность, проходящая через <i>O</i>, переходит в прямую, а окружность, не проходящая через <i>O</i>, — в окружность.

Докажите, что при инверсии с центром <i>O</i>прямая <i>l</i>, не проходящая через <i>O</i>, переходит в окружность, проходящую через <i>O</i>.

Пользуясь только циркулем, разделите пополам данный отрезок, то есть постройте для данных точек <i>A</i> и <i>B</i> такую точку <i>C</i>, что точки <i>A, B, C</i> лежат на одной прямой и  <i>AC = BC</i>.