Олимпиадные задачи из источника «глава 29. Аффинные преобразования» для 4-9 класса - сложность 1-3 с решениями

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число${\frac{a-b}{a-c}}$, называемое<i>простым отношением</i>трех комплексных чисел, вещественно. б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число${\frac{a-c}{a-d}}$:${\frac{b-c}{b-d}}$, называемое<i>двойным отношением</i>четырех комплексных чисел, вещественно.

Пусть точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>являются образами точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>при инверсии. Докажите, что: а)${\frac{AC}{AD}}$:${\frac{BC}{BD}}$=${\frac{A^C^}{A^D^}}$:${\frac{B^C^}{B^D^}}$; б)$\angle$(<i>DA</i>,<i>AC</i>) -$\angle$(<i>DB</i>,<i>BC</i>) =$\angle$(<i>D</i><i>B</i>,<i>B</i><i>C</i>) -$\angle$(<i>D</i>^*<i>A</i><sup&gt...

а) Пусть$\varepsilon$=${\frac{1}{2}}$+${\frac{i\sqrt{3}}{2}}$. Докажите, что точки<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда<i>a</i>+$\varepsilon^{2}{}$<i>b</i>+$\varepsilon^{4}{}$<i>c</i>= 0 или<i>a</i>+$\varepsilon^{4}{}$<i>b</i>+$\varepsilon^{2}{}$<i>c</i>= 0. б) Докажите, что точки<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²=<i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ac</i>.

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида<div align="CENTER"> <i>Az</i>$\displaystyle \bar{z}$ + <i>cz</i> + $\displaystyle \bar{c}$$\displaystyle \bar{z}$ + <i>D</i> = 0, </div>где<i>A</i>и<i>D</i> — вещественные числа, а<i>c</i> — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество. б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

Докажите, что прямая, проходящая через точки<i>a</i>₁и<i>a</i>₂, задаётся уравнением<div align="CENTER"> <i>z</i>($\displaystyle \bar{a}{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}{2}^{}$) - $\displaystyle \bar{z}$(<i>a</i>₁ - <i>a</i>₂) + (<i>a</i>₁$\displaystyle \bar{a}{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}{1}^{}$<i>a</i>₂) = 0. </div>

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>— комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число${\frac{1}{2}}$(<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>-$\bar{a}$<i>bc</i>) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины<i>a</i>на сторону<i>bc</i>.

Пусть<i>a</i> — комплексное число, лежащее на единичной окружности<i>S</i>с центром в нуле,<i>t</i> — вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси). Пусть, далее,<i>b</i> — отличная от<i>a</i>точка пересечения прямой<i>at</i>с окружностью<i>S</i>. Докажите, что$\bar{b}$= (1 -<i>ta</i>)(<i>t</i>-<i>a</i>).

Пусть<i>a</i>и<i>b</i> — комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле,<i>u</i> — точка пересечения касательных к этой окружности в точках<i>a</i>и<i>b</i>. Докажите, что<i>u</i>= 2<i>ab</i>/(<i>a</i>+<i>b</i>).

Докажите, что треугольники<i>abc</i>и<i>a'b'c'</i>собственно подобны, тогда и только тогда, когда<div align="CENTER"> <i>a'</i>(<i>b</i> - <i>c</i>) + <i>b'</i>(<i>c</i> - <i>a</i>) + <i>c'</i>(<i>a</i> - <i>b</i>) = 0. </div>

Докажите, что если треугольники<i>abc</i>и<i>a'b'c'</i>на комплексной плоскости собственно подобны, то<div align="CENTER"> (<i>b</i> - <i>a</i>)/(<i>c</i> - <i>a</i>) = (<i>b'</i> - <i>a'</i>)/(<i>c'</i> - <i>a'</i>). </div>

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — комплексные числа, причем углы<i>a</i>0<i>b</i>и<i>c</i>0<i>d</i>равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда$\Im$<i>abcd</i>= 0.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>даны точки <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i>соответственно. Докажите: а) если точки <i>M</i>₁,<i>N</i>₁и <i>P</i>₁симметричны точкам <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i>относительно середин соответствующих сторон, то<i>S</i>_MNP=<i>S</i>_M₁N₁P₁. б) если <i>M</i>₁,<i>N</i>₁и <i>P</i>₁ ...

В параллелограмме<i>ABCD</i>точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁лежат соответственно на сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>,<i>DA</i>. На сторонах<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>C</i>₁<i>D</i>₁,<i>D</i>₁<i>A</i>₁четырехугольника<i>A</i>₁<i>B</i><sub&...

В трапеции<i>ABCD</i>с основаниями<i>AD</i>и <i>BC</i>через точку <i>B</i>проведена прямая, параллельная стороне<i>CD</i>и пересекающая диагональ<i>AC</i>в точке <i>P</i>, а через точку <i>C</i> — прямая, параллельная стороне<i>AB</i>и пересекающая диагональ<i>BD</i>в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямая<i>PQ</i>параллельна основаниям трапеции.

Дан треугольник<i>ABC</i>. Пусть <i>O</i> — точка пересечения его медиан, а <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i> — точки сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>, делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е.<i>AM</i>:<i>MB</i>=<i>BN</i>:<i>NC</i>=<i>CP</i>:<i>PA</i>=<i>p</i>:<i>q</i>). Докажите, что: а)<i>O</i> — точка пересечения медиан треугольника<i>MNP</i>; б)<i>O</i> — точка пересечения медиан треугольника, образованного прямыми<i>AN</i>,<i>BP</i>и <i>CM</i>.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CD</i>параллелограмма<i>ABCD</i>взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>и <i>M</i>соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть <i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — прямые, проходящие через <i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>параллельно прямым<i>KL</i>,<i>KM</i>,<i>ML</i>соответственно. Докажите, что прямые <i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>проходят через одну точку.

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку <i>O</i>в данную точку <i>O'</i>, а данный базис векторов <b>e</b>₁,<b>e</b>₂ — в данный базис <b>e</b>₁',<b>e</b>₂'. б) Даны два треугольника<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку <i>A</i>в <i>A</i>₁,<i>B</i> — в <i>B</i>₁,<i&...

Пусть <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i> — образы точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>при аффинном преобразовании <i>L</i>. Докажите, что если <i>C</i>делит отрезок<i>AB</i>в отношении<i>AC</i>:<i>CB</i>=<i>p</i>:<i>q</i>, то <i>C'</i>делит отрезок<i>A'B'</i>в том же отношении.

Докажите, что если <i>L</i> — аффинное преобразование, то а)<i>L</i>($\overrightarrow{0}$) =$\overrightarrow{0}$; б)<i>L</i>(<b>a</b>+<b>b</b>) =<i>L</i>(<b>a</b>) +<i>L</i>(<b>b</b>); в)<i>L</i>(<i>k</i><b>a</b>) =<i>kL</i>(<b>a</b>).

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁ — образы точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>при аффинном преобразовании. Докажите, что если$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$, то$\overrightarrow{A_1B_1}$=$\overrightarrow{C_1D_1}$.

Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.

Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.