Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Произведение длин отрезков хорд» - сложность 2 с решениями

В параллелограмме <i>ABCD</i>диагональ <i>AC</i>больше диагонали <i>BD</i>; <i>M</i> — такая точка диагонали <i>AC</i>, что четырехугольник <i>BCDM</i>вписанный. Докажите, что прямая <i>BD</i>является общей касательной к описанным окружностям треугольников <i>ABM</i>и <i>ADM</i>.

Через точку <i>P</i>, лежащую на общей хорде <i>AB</i>двух пересекающихся окружностей, проведены хорда <i>KM</i>первой окружности и хорда <i>LN</i>второй окружности. Докажите, что четырехугольник <i>KLMN</i>вписанный.

Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.