Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Коники, связанные с треугольником» для 11 класса
параграф 8. Коники, связанные с треугольником
НазадНайдите уравнение гиперболы Енжабика в трилинейных коордитнатах.
Найдите уравнение центра гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.
На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и<i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>построены равнобедренные треугольники<i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i>,<i>BA</i><sub>1</sub><i>C</i>,<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i>с углом при основании$\varphi$(все три внешним или внутренним образом одновременно). Докажите, что прямые<i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и<i>CC</i><sub>1</sub>пересекаются в одной точке, лежащей на гиперболе Киперта. Замечание. На гиперболе Киперта лежат следующие точки: ортоцентр ($\varphi$=$\pi$/2), центр масс ($\varphi$= 0), точки Торричелли ($\varphi$= ±$\pi$/3), вер...
Найдите уравнение гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.
а) Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, проходящей через центр<i>O</i>описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника. б) Докажите, что центр этой коники лежит на окружности девяти точек.
Дан треугольник<i>ABC</i>и прямая<i>l</i>, не проходящая через его вершины. а) Докажите, что кривая, изогонально сопряжённая прямой<i>l</i>, является эллипсом, если<i>l</i>не пересекает описанную окружность треугольника<i>ABC</i>; параболой если<i>l</i>касается описанной окружности; гиперболой если<i>l</i>пресекает описанную окружность в двух точках. б) Докажите, что кривая, изотомически сопряжённая прямой<i>l</i>, является эллипсом, если<i>l</i>не пересекает описанный эллипс Штейнера треугольника<i>ABC</i>; параболой если<i>l</i>касается эллипса Штейнера; гиперболой если<i>l</i>пресекает эллипс Штейнера в двух точках.
Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.
Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением<div align="CENTER"> <i>p</i>$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ + <i>q</i>$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \gamma$ + <i>r</i>$\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$ = 0. </div>Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты<div align="CENTER"> $\displaystyle \bigl($<i>r</i>(<i>p</i> + <i>q</i> - <i>r</i>) : <i>q</i>(<i>p</i> + <i>r</i> - <i>q</i>) : <i>p</i>(<i>r</i> + <i>q</i> - <i>p</i>)$\displaystyle \bigr)$. </div>
а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида<div align="CENTER"> <i>pxy</i> + <i>qxz</i> + <i>rzy</i> = 0. </div> б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида<div align="CENTER"> <i>px</i><sup>2</sup> + <i>qy</i><sup>2</sup> + <i>rz</i><sup>2</sup> = 2(±$\displaystyle \sqrt{pq}$<i>xy</i>±$\displaystyle \sqrt{pr}$<i>xz</i>±$\displaystyle \sqrt{qr}$<i>yz</i>). </div>