Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Формулы для площади четырехугольника» для 2-9 класса - сложность 2-5 с решениями

а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>вычисляется по формуле<div align="CENTER"> <i>S</i>² = (<i>p</i> - <i>a</i>)(<i>p</i> - <i>b</i>)(<i>p</i> - <i>c</i>)(<i>p</i> - <i>d</i> )- <i>abcd</i> cos²((<i>B</i> + <i>D</i>)/2), </div>где <i>p</i> — полупериметр, <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — длины сторон. б) Докажите, что если четырехугольник <i>ABCD</i>вписанный, то <i>S</i>²= (<i>p</i>-<i>a</i>)(<i>p</i...

Докажите, что площадь четырехугольника, диагонали которого не перпендикулярны, равна <i>tg</i>$\varphi$^.|<i>a</i>²+<i>c</i>²-<i>b</i>²-<i>d</i>²|/4, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и <i>d</i> — длины последовательных сторон, $\varphi$ — угол между диагоналями.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>, $\varphi$ — угол между его диагоналями. Докажите, что площадь <i>S</i>четырехугольника <i>ABCD</i>равна 2<i>R</i>²sin <i>A</i>sin <i>B</i>sin$\varphi$.

Диагонали четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Расстояния от точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>P</i>до прямой <i>CD</i>равны <i>a</i>,<i>b</i>и <i>p</i>. Докажите, что площадь четырехугольника <i>ABCD</i>равна <i>ab</i>^.<i>CD</i>/2<i>p</i>.