Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Перегруппировка площадей» для 6-9 класса - сложность 1-5 с решениями

а) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (рис.). Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника. б) Докажите, что площадь двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56814/problem_56814_img_2.gif" border="1"></div>

Стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>параллелограмма <i>ABCD</i>площади 1 разбиты на <i>n</i>равных частей, <i>AD</i>и <i>BC</i> — на <i>m</i>равных частей. а) Точки деления соединены так, как показано на рис., <i>а</i>. б) Точки деления соединены так, как показано на рис., <i>б</i>. Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56813/problem_56813_img_2.gif" border="1"></div>

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.