Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Площадь» - сложность 5 с решениями
глава 4. Площадь
НазадВнутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Обозначим расстояния от точки <i>O</i>до сторон <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника через <i>d</i><sub>a</sub>,<i>d</i><sub>b</sub>,<i>d</i><sub>c</sub>, а расстояния от точки <i>O</i>до вершин <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>через <i>R</i><sub>a</sub>,<i>R</i><sub>b</sub>,<i>R</i><sub>c</sub>. Докажите, что: а) <i>aR</i><sub>a</sub>$\geq$<i>cd</i><sub>c</sub>+<i>bd</i><sub>b</sub>; б) <i>d</i><...
а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>вычисляется по формуле<div align="CENTER"> <i>S</i><sup>2</sup> = (<i>p</i> - <i>a</i>)(<i>p</i> - <i>b</i>)(<i>p</i> - <i>c</i>)(<i>p</i> - <i>d</i> )- <i>abcd</i> cos<sup>2</sup>((<i>B</i> + <i>D</i>)/2), </div>где <i>p</i> — полупериметр, <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — длины сторон. б) Докажите, что если четырехугольник <i>ABCD</i>вписанный, то <i>S</i><sup>2</sup>= (<i>p</i>-<i>a</i>)(<i>p</i...
Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.