Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Вписанные и описанные многоугольники» - сложность 2-5 с решениями
параграф 7. Вписанные и описанные многоугольники
НазадНекоторые стороны выпуклого многоугольника красные, остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.
Около окружности описан <i>n</i>-угольник <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>; <i>l</i> — произвольная касательная к окружности, не проходящая через вершины <i>n</i>-угольника. Пусть <i>a</i><sub>i</sub> — расстояние от вершины <i>A</i><sub>i</sub>до прямой <i>l</i>, <i>b</i><sub>i</sub> — расстояние от точки касания стороны <i>A</i><sub>i</sub><i>A</i><sub>i + 1</sub>с окружностью до прямой <i>l</i>. Докажите, что: а) величина <i>b</i><sub>1</sub>...<i>b</i><sub>n</sub>/(<i>a</i><sub>1</su...
Окружность радиуса <i>r</i>касается сторон многоугольника в точках <i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>, причем длина стороны, на которой лежит точка <i>A</i><sub>i</sub>, равна <i>a</i><sub>i</sub>. Точка <i>X</i>удалена от центра окружности на расстояние <i>d</i>. Докажите, что<i>a</i><sub>1</sub><i>XA</i><sub>1</sub><sup>2</sup>+ ... +<i>a</i><sub>n</sub><i>XA</i><sub>n</sub><sup>2</sup>=<i>P</i>(<i>r</i><sup>2</sup>+<i>d</i><sup>2</sup>), где <i>P</i> — перим...
В 2<i>n</i>-угольнике (<i>n</i>нечетно) <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>2n</sub>, описанном около окружности с центром <i>O</i>, диагонали<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>n + 1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>n + 2</sub>,...,<i>A</i><sub>n - 1</sub><i>A</i><sub>2n - 1</sub>проходят через точку <i>O</i>. Докажите, что и диагональ <i>A</i><sub>n</sub><i>A</i><sub>2n</sub>проходит через точку <i>O</i>.
Точка, лежащая внутри описанного <i>n</i>-угольника, соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.
Положительные числа <i>a</i><sub>1</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>таковы, что 2<i>a</i><sub>i</sub><<i>a</i><sub>1</sub>+ ... +<i>a</i><sub>n</sub>при всех <i>i</i>= 1,...,<i>n</i>. Докажите, что существует вписанный <i>n</i>-угольник, длины сторон которого равны <i>a</i><sub>1</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>.
Два <i>n</i>-угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.
Вписанный многоугольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что сумма радиусов всех вписанных в эти треугольники окружностей не зависит от разбиения.
В окружность вписан 2<i>n</i>-угольник <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>2n</sub>. Пусть <i>p</i><sub>1</sub>,...,<i>p</i><sub>2n</sub> — расстояния от произвольной точки <i>M</i>окружности до сторон <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>,...,<i>A</i><sub>2n</sub><i>A</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>p</i><sub>1</sub><i>p</i><sub>3</sub>...<i>p</i><sub>2n - 1</sub>=<i>p</i><sub>2</sub><i&...
На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?