Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Сумма длин диагоналей четырехугольника» - сложность 1-3 с решениями

Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.

Внутри выпуклого четырехугольника с суммой длин диагоналей <i>d</i>расположен выпуклый четырехугольник с суммой длин диагоналей <i>d'</i>. Докажите, что <i>d'</i>< 2<i>d</i>.

Пусть <i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник, причем <i>AB</i>+<i>BD</i>$\leq$<i>AC</i>+<i>CD</i>. Докажите, что <i>AB</i><<i>AC</i>.

Пусть <i>ABCD</i> – выпуклый четырехугольник. Докажите, что  <i>AB</i> + <i>CD</i> < <i>AC</i> + <i>BD</i>.