Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 1-7 класса - сложность 1-2 с решениями
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
НазадДоказать, что в произвольном выпуклом 2<i>n</i>-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.
Можно ли нарисовать на плоскости шесть точек и так соединить их непересекающимися отрезками, что каждая точка будет соединена ровно с четырьмя другими?
Постройте замкнутую шестизвенную ломаную, пересекающую каждое свое звено ровно один раз.
Разрежьте фигуру, изображенную на рис. на 4 равные части. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58228/problem_58228_img_2.gif" border="1"></div>
Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.
На плоскости лежат три шайбы <i>A, B</i> и <i>C</i>. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после25 ударов?
На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая <i>l</i> пересекает её ровно в 1985 точках.
Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.
Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
а) (2<i>n</i>+1)-угольника; б) 2<i>n</i>-угольника?
а) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью. б) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0, 5.
Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в два цвета. Докажите, что существуют две горизонтальные и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат точки одного цвета.
Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок всегда может выиграть.
Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.
В. треугольнике длины двух сторон равны 3, 14 и 0, 67. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является целым числом.
Даны отрезки, длины которых равны <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>. Постройте отрезок длиной: a) <i>ab</i>/<i>c</i>; б) $\sqrt{ab}$.
Постройте прямую, проходящую через данную точку и касающуюся данной окружности.
Постройте окружность с данным центром, касающуюся данной окружности.
Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
Постройте треугольник <i>ABC</i>по стороне <i>a</i>, высоте <i>h</i><sub>a</sub>и углу <i>A</i>.
На окружности фиксирована точка <i>A</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, делящих хорды с концом <i>A</i>в отношении 1 : 2, считая от точки <i>A</i>.
Найдите геометрическое место таких точек <i>X</i>, что касательные, проведенные из <i>X</i>к данной окружности, имеют данную длину.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, удовлетворяющих неравенствам <i>AX</i>$\leq$<i>BX</i>$\leq$<i>CX</i>.
Найдите геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.
а) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых. б) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.
а) Докажите, что сумма углов при вершинах выпуклого <i>n</i>-угольника равна (<i>n</i>- 2)<sup> . </sup>180<sup><tt>o</tt></sup>. б) Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что количество этих треугольников равно <i>n</i>- 2.