Олимпиадные задачи из источника «выпуск 11» - сложность 2-5 с решениями

В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел <i>a, b, c, d</i> произведение чисел  <i>a – d</i>  и  <i>b – c</i>  отрицательно, то числа <i>b</i> и <i>c</i> можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.

Для любого натурального числа <i>n</i> существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2^<i>n</i>. Докажите это.

(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)

В таблице размером <i>m×n</i> записаны числа так, что для каждых двух строк и каждых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось не меньше чем  (<i>n + m</i> – 1)  чисел.

В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0, 001. Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит: а) 0, 34; б) 0, 287.