Олимпиадные задачи из источника «выпуск 3» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Многочлен <i>p</i> и число <i>a</i> таковы, что для любого числа <i>x</i> верно равенство  <i>p</i>(<i>x</i>) = <i>p</i>(<i>a – x</i>).

Докажите, что <i>p</i>(<i>x</i>) можно представить в виде многочлена от  (<i>x</i> – ^<i>a</i>/₂)².

На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (все такие возможности равновероятны), окажется, что угаданы

  а) ровно 4 клетки?   б) ровно 5 клеток?   в) все 8 клеток?

Пусть <i>p</i> – произвольное вещественное число. Найдите все такие <i>x</i>, что сумма кубических корней из чисел  1 – <i>x</i>  и  1 + <i>x</i>  равна <i>p</i>.