Олимпиадные задачи из источника «1981 год» для 3-9 класса - сложность 3 с решениями
Натуральные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> таковы, что каждое не превышает своего номера (<i>a<sub>k</sub> ≤ k</i>) и сумма всех чисел – чётное число. Доказать, что одна из сумм <i>a</i><sub>1</sub> ± <i>a</i><sub>2</sub> ± ... ± <i>a<sub>n</sub></i> равна нулю.
Дано число<i>x</i>, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство<div align="CENTER"> [$\displaystyle \sqrt{[\sqrt{x}]}$] = [$\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}}$]? </div>
Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число.<span class="prim">(Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.)</span>Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число<nobr>(не пересекающих</nobr>друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?