Олимпиадные задачи из источника «1981 год» для 8 класса
Доказать, что любое действительное положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичная запись (каждого из) которых состоит из цифр 0 и 7.
<i>M</i> – множество точек на плоскости. Точка <i>O</i> называется "почти центром симметрии" множества <i>M</i>, если из <i>M</i> можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества <i>O</i> является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?
Натуральные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> таковы, что каждое не превышает своего номера (<i>a<sub>k</sub> ≤ k</i>) и сумма всех чисел – чётное число. Доказать, что одна из сумм <i>a</i><sub>1</sub> ± <i>a</i><sub>2</sub> ± ... ± <i>a<sub>n</sub></i> равна нулю.
Дано число<i>x</i>, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство<div align="CENTER"> [$\displaystyle \sqrt{[\sqrt{x}]}$] = [$\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}}$]? </div>
2<i>m</i>-значное число назовём справедливым, если его чётные разряды содержат столько же чётных цифр, сколько и нечётные. Докажите, что в любом (2<i>m</i>+1)-значном числе можно вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное 2<i>m</i>-значное число было справедливым. Пример для числа 12345 показан на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73628/problem_73628_img_2.gif"></div>
Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.
Четырехугольник <i>ABCD</i>, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром <i>O</i>.
Докажите, что ломаная <i>AOC</i> делит его на две равновеликие части.