Олимпиадные задачи из источника «7 класс» - сложность 1-2 с решениями
Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?
Город Нью-Васюки имеет форму квадрата со стороной 5 км. Улицы делят его на кварталы, являющиеся квадратами со стороной 200 м. Какую наибольшую площадь можно обойти, пройдя по улицам Нью-Васюков 10 км и вернувшись в исходную точку?
В большую шкатулку положили 10 шкатулок поменьше. В каждую из вложенных шкатулок либо положили 10 еще поменьше, либо ничего не положили. В каждую из меньших опять положили или 10, или ни одной, и т.д. После этого оказалось ровно 2006 шкатулок с содержимым. Сколько пустых?
Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?
На электронных часах Казанского вокзала высвечиваются часы и минуты (например, 17:36). Сколько времени в течение суток на них а) высвечивается цифра 2; б) высвечиваются цифры 5 и 7 одновременно?
На доске написаны числа 1 и 2. Каждый день научный консультант Выбегалло заменяет два написанных числа на их среднее арифметическое и среднее гармоническое. а) Однажды одним из написанных чисел (каким неизвестно) оказалось 941664/665857. Каким в этот момент было другое число? б) Будет ли когда-нибудь написано число 35/24?
С помощью волшебного банкомата можно поменять любую купюру на любое конечное число купюр меньшего достоинства. Получив 1000 франков одной бумажкой, сможете ли Вы каждый месяц платить квартплату? (Дело происходит в Швейцарии, где квартплата постоянна, а жизнь бесконечна.)
На столе рубашкой вниз лежит игральная карта. Можно ли, перекатывая ее по столу через ребро, добиться того, чтобы она оказалась на прежнем месте, но а) рубашкой вверх; б) рубашкой вниз и вверх ногами?
Плоскость раскрашена в два цвета, причем каждый цвет использован. а) Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 2006 м. б) Докажите, что найдутся две точки разных цветов, расстояние между которыми также равно 2006 м.
Прямая раскрашена в два цвета. Докажите, что найдётся отрезок, оба конца и середина которого покрашены в один и тот же цвет.
Раскрасьте рисунок в четыре цвета так, чтобы соседние части были покрашены в разные цвета. б) Можно ли обойтись тремя цветами?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/105193/problem_105193_img_2.jpg"></div>
Рома и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Ромы шапку и бросил её на встречный эскалатор. Энергичный Рома побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Ромы. Кто успеет раньше, если скорости ребят относительно эскалатора одинаковы, постоянны и не зависят от направления движения?
а) Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?
б) При спуске с той же лестницы Леша перепрыгивает через некоторые ступеньки (может даже через все 10). Сколькими способами он может спуститься по этой лестнице?
Женя не успел влезть в лифт на первом этаже дома и решил пойти по лестнице. На третий этаж он поднимается за 2 минуты. Сколько времени у него займет подъем до девятого этажа?
На плоскости даны 9 точек (см. рисунок). Перечеркните их все четырьмя прямыми отрезками, не отрывая карандаша от бумаги. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/104120/problem_104120_img_2.gif"></div>
На прозрачном столе стоит куб 3×3×3, составленный из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди, сзади, слева, справа, сверху, снизу) мы видим квадрат 3×3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать так, чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не разваливалась?
В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояние между любыми соседними равно 1 дюйму. Натяните нитку длиной 19 дюймов от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/104117/problem_104117_img_2.gif"></div>
Представьте, что куб стоит на столе на одной своей вершине (так, что верхняя вершина расположена точно над нижней) и освещён прямо сверху. Какая в этом случае получается тень от куба?
У отца спросили, сколько лет двум его сыновьям. Отец ответил, что если к произведению их возрастов добавить сумму этих возрастов, то получится 34.
Сколько лет сыновьям?
В дремучем Муромском лесу растут дубы и осины. Известно, что дубы составляют 99% всех деревьев. Илья Муромец вырубил часть дубов, так что в лесу стало 98% дубов. Какую (в процентах) часть леса вырубил Илья Муромец?
У купца есть два сорта чая: цейлонский по 10 рублей за фунт и индийский по 6 рублей за фунт. Чтобы увеличить прибыль, купец решил смешать два сорта, а продавать смесь по-прежнему по 10 рублей за фунт. В какой пропорции следует ему их смешать, чтобы получать по 3 рубля за фунт сверх положенной прибыли?
Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег да ещё 2 рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся да ещё 1 рубль. После этого денег у крестьянина не осталось. Сколько рублей у него было первоначально?
Купец продаёт двух коней с сёдлами, причём цена одного седла 120 рублей, а другого – 25 рублей. Первый конь с хорошим седлом втрое дороже другого с дешёвым, а другой конь с хорошим седлом вдвое дешевле первого коня с дешёвым. Какова цена каждого коня?
а) Сколькими способами можно разбить прямоугольник 8×2 на прямоугольники 1×2? б) Придумайте и опишите фигуру, которую можно разрезать на прямоугольники 1×2 ровно 555 способами.
Дима провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда, что: 25 из них играют в шахматы, 30 были в Архангельске, 28 летали на самолете. Среди летавших на самолете 18 играют в шахматы и 17 были в Архангельске. 16 жителей играют в шахматы и были в Архангельске, притом среди них 15 еще и летали на самолете. От управдома Дима узнал, что всего в подъезде живет 45 человек. Не врет ли управдом?