Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады»

Доказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.

Найти наименьшее натуральное число <i>A</i>, удовлетворяющее следующим условиям:

  а) его запись оканчивается цифрой 6;

  б) при перестановке цифры 6 из конца числа в его начало оно увеличивается в четыре раза.

Найти последние четыре цифры числа 5¹⁹⁶⁵.

Найти такое трёхзначное число <i>A</i>², являющееся точным квадратом, что произведение его цифр равно  <i>A</i> – 1.

Найти четыре последовательных числа, произведение которых равно 1680.

Доказать, что если стороны квадрата и равновеликого ему прямоугольника выражены целыми числами, то отношение их периметров выражено не целым числом.

36 т груза упаковано в мешки вместимостью не более 1 т. Доказать, что четырёхтонный грузовой автомобиль за 11 поездок может перевезти этот груз.

Доказать, что каковы бы ни были числа <i>a, b, c</i>, по крайней мере одно из уравнений

    <i>a</i> sin <i>x + b</i> cos <i>x + c</i> = 0,   2<i>a</i> tg <i>x + b</i> ctg <i>x</i> + 2<i>c</i> = 0

имеет решение.

Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

Найти решение уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109174/problem_109174_img_2.gif">   в целых числах.

Дан многочлен  <i>x</i>(<i>x</i> + 1)(<i>x</i> + 2)(<i>x</i> + 3).  Найти его наименьшее значение.

Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.

На плоскости дан квадрат со стороной<i> a </i>. Найти объём тела, состоящего из всех точек пространства, расстояние от которых до части плоскости, ограниченной квадратом, не больше<i> a </i>.

Найти минимальное и максимальное значения аргумента комплексных чисел <i>y</i>, удовлетворяющих условию  |<i>y</i> + ¹/_<i>y</i>| = <img src="/storage/problem-media/109169/problem_109169_img_2.gif"> .

Доказать, что сумма<i> cos α+ cos</i>(72<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(144<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(216<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(288<i>^o+α</i>)не зависит от<i> α </i>.

Вершины тысячеугольника занумерованы числами от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1, 16, 31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными?

Решить уравнение  (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)⁴ – 10<i>x</i>²(<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)² + 9<i>x</i>⁴ = 0.

В плоскости расположена прямая<i> y </i>и прямоугольный треугольник<i> ABC </i>с катетами<i> AC=</i>3<i>; BC=</i>4. Вершина<i> C </i>находится на расстоянии 10 от прямой<i> y </i>. Угол между<i> y </i>и направлением катета<i> AC </i>равен<i> α </i>. Надо определить угол<i> α </i>, при котором поверхность, полученная вращением треугольника<i> ABC </i>вокруг прямой<i> y </i>, будет наименьшей.

Если через точку<i> O </i>, расположенную внутри треугольной пирамиды<i> ABCD </i>, провести отрезки<i> AA₁,BB₁,CC₁,DD₁ </i>, где<i> A₁ </i>лежит на грани, противоположной вершине<i> A </i>,<i> B₁ </i>– на грани, противоположной вершине<i> B </i>, и т.д., то имеет место равенство <center><i>

A₁O/A₁A+B₁O/B₁B+C₁O/C₁C+D₁O/D₁D=</i>1<i>.

</i></center>

Найти все действительные решения уравнения<i> x²+</i>2<i>x sin xy+</i>1<i>=</i>0.

Среди комплексных чисел <i> p </i>, удовлетворяющих условию  |<i>p</i> – 25<i>i</i>| ≤ 15,  найти число с наименьшим аргументом.

Найти все решения системы уравнений <center><i>

<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_2.gif">

</i></center> удовлетворяющие условиям0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> x<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π,;; </i>0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> y<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π </i>.

Доказать, что <center><i>

A= sin²</i>(<i>α+β</i>)<i>+ sin²</i>(<i>β-α</i>)<i>-</i>2<i> sin</i>(<i>α+β</i>)<i> sin</i>(<i>β-α</i>)<i> cos </i>2<i>α

</i></center> не зависит от<i> β </i>.

Найти целые решения уравнения  <i>x</i>²<i>y</i> = 10000<i>x + y</i>.

Делится ли многочлен  1 + <i>x</i>⁴ + <i>x</i>⁸ + ... + <i>x</i>^4<i>k</i>  на многочлен  1 + <i>x</i>² + <i>x</i>⁴ + ... + <i>x</i>^2<i>k</i>?