Олимпиадные задачи из источника «1990 год» - сложность 1-4 с решениями

Внутри квадрата<i>ABCD</i>расположен квадрат<i>KMXY</i>. Докажите, что середины отрезков<i>AK</i>,<i>BM</i>,<i>CX</i>и<i>DY</i>также являются вершинами квадрата.

Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Можно ли из 13 кирпичей1×1×2 сложить куб3×3×3 с дыркой1×1×1 в центре?

Изобразите множество середин всех отрезков, концы которых лежат а) на данной полуокружности; б) на диагоналях данного квадрата.

Раскрасьте плоскость в три цвета так, чтобы на каждой прямой были точки не более, чем двух цветов, и каждый цвет был бы использован.

Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.

Замостите плоскость одинаковыми а) пятиугольниками; б) семиугольниками.

48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на 1 подкову 5 минут? (Лошадь не может стоять на двух ногах.)

В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причём воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как он это понял?

Существуют ли  а) 5,  б) 6 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию?

Верно ли утверждение: "Если две стороны и три угла одного треугольника равны двум сторонам и трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны"?