Олимпиадные задачи из источника «1935 год» для 1-9 класса

Доказать формулы

  а)  [<i>a, b</i>](<i>a, b</i>) = <i>ab</i>.

  б)  [<i>a, b, c</i>](<i>a, b</i>)(<i>b, c</i>)(<i>c, a</i>) = (<i>a, b, c</i>)<i>abc</i>.

Сколькими различными способами можно разложить натуральное число <i>n</i> на сумму трёх натуральных слагаемых? Два разложения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.

Найти сумму<div align="CENTER"> 1³ + 3³ + 5³ + ... + (2<i>n</i> - 1)³. </div>

Решить систему уравнений:

   <i>x</i>³ – <i>y</i>³ = 26,

   <i>x</i>²<i>y – xy</i>² = 6.

Сколько действительных решений имеет система двух уравнений с тремя неизвестными:

   <i>x + y</i> = 2,

   <i>xy – z</i>² = 1 ?

Дана окружность и на ней 3 точки<i>M</i>,<i>N</i>,<i>P</i>, в которых пересекаются с окружностью (при продолжении) высота, биссектриса и медиана, выходящие из одной вершины вписанного треугольника. Построить этот треугольник.

В треугольнике <i>ABC</i> из произвольной точки <i>D</i> на стороне <i>AB</i> проведены две прямые, параллельные сторонам <i>AC</i> и <i>BC</i>, пересекающие <i>BC</i> и <i>AC</i> соответственно в точках <i>F</i> и <i>G</i>. Доказать, что сумма длин описанных окружностей треугольников <i>ADG</i> и <i>BDF</i> равна длине описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Решить систему уравнений:

  <i>x</i>² + <i>y</i>² – 2<i>z</i>² = 2<i>a</i>²,

  <i>x + y</i> + 2<i>z</i> = 4(<i>a</i>² + 1),

  <i>z</i>² – <i>xy</i> = <i>a</i>².

Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен${\frac{1}{3}}$одной из высот.

Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

Поезд проходит мимо наблюдателя в течение <i>t</i>₁ секунд, при той же скорости он проходит через мост длиной в <i>a</i> метров в течение <i>t</i>₂ секунд.

Найти длину и скорость поезда.

Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 25 : 24.

Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.

Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённым из одной вершины.