Олимпиадные задачи из источника «9,10 класс, 1 тур» - сложность 1-5 с решениями

Прямоугольный треугольник<i>ABC</i>движется по плоскости так, что его вершины<i>B</i>и<i>C</i>скользят по сторонам данного прямого угла. Доказать, что множеством точек<i>A</i>является отрезок и найти его длину.

Система уравнений второго порядка

   <i>x</i>² – <i>y</i>² = 0,

   (<i>x – a</i>)² + <i>y</i>² = 1

имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях <i>a</i> число решений системы уменьшается до трёх или до двух?

Найти трёхзначное число, всякая целая степень которого оканчивается на три цифры, составляющие исходное число (в том же порядке).

Разделить  <i>a</i>^{2^<i>k</i>} – <i>b</i>^{2^<i>k</i>}  на  (<i>a + b</i>)(<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴)...(<i>a</i>^{2^<i>k</i>–1} + <i>b</i>^{2^<i>k</i>–1}).