Олимпиадные задачи из источника «1945 год» для 10 класса - сложность 2-5 с решениями

Окружность радиуса, равного высоте некоторого правильного треугольника, катится по стороне этого треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами треугольника на окружности, всё время равна60^<tt>o</tt>.

Некоторые из чисел<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,...<i>a</i>_nравны +1, остальные равны -1. Доказать, что<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT">2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$<i>a</i>₁ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi...

Решить в целых числах уравнение  <i>xy</i> + 3<i>x</i> – 5<i>y</i> = – 3.

Прямоугольный треугольник<i>ABC</i>движется по плоскости так, что его вершины<i>B</i>и<i>C</i>скользят по сторонам данного прямого угла. Доказать, что множеством точек<i>A</i>является отрезок и найти его длину.

Система уравнений второго порядка

   <i>x</i>² – <i>y</i>² = 0,

   (<i>x – a</i>)² + <i>y</i>² = 1

имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях <i>a</i> число решений системы уменьшается до трёх или до двух?

Найти трёхзначное число, всякая целая степень которого оканчивается на три цифры, составляющие исходное число (в том же порядке).