Олимпиадные задачи из источника «1945 год» для 2-9 класса - сложность 2 с решениями
Решить в целых числах уравнение <i>xy</i> + 3<i>x</i> – 5<i>y</i> = – 3.
Сторона <i>AD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> разделена на <i>n</i> равных частей. Первая точка деления <i>P</i> соединена с вершиной <i>B</i>.
Доказать, что прямая <i>BP</i> отсекает на диагонали <i>AC</i> часть <i>AQ</i>, которая равна <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>+1</sub> части диагонали: <i>AQ = <sup>AC</sup></i>/<sub><i>n</i>+1</sub>.
Даны 6 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найти сумму всех четырёхзначных чётных чисел, которые можно написать этими цифрами (одна и та же цифра в числе может повторяться).
К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Доказать, что разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.
Доказать, что при любом целом положительном <i>n</i> сумма <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/76502/problem_76502_img_2.gif"> больше ½.
Вершины <i>A, B, C</i> треугольника соединены с точками <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub>, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах).
Могут ли середины отрезков <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> лежать на одной прямой?