Олимпиадные задачи из источника «1952 год» для 2-11 класса - сложность 2-4 с решениями

Докажите, что ни при каком целом <i>A</i> многочлен  3<i>x</i>^2<i>n</i> + <i>Ax</i>^<i>n</i> + 2  не делится на многочлен  2<i>x</i>^2<i>m</i> + <i>Ax</i>^<i>m</i> + 3.

Докажите, что сумма<div align="CENTER"> cos 32<i>x</i> + <i>a</i>₃₁cos 31<i>x</i> + <i>a</i>₃₀cos 30<i>x</i> + ... + <i>a</i>₁cos <i>x</i> </div>принимает как положительные, так и отрицательные значения.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>ABC</i> = 20°.  На равных сторонах <i>CB</i> и <i>AB</i> взяты соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  ∠<i>PAC</i> = 50°  и  ∠<i>QCA</i> = 60°.

Докажите, что  ∠<i>PQC</i> = 30°.

Поместить в полый куб с ребром<i>a</i>три цилиндра диаметра${\frac{a}{2}}$и высоты<i>a</i>так, чтобы они не могли менять своего положения внутри куба.

Решить систему уравнений:   <i>x</i>₁<i>x</i>₂ = <i>x</i>₂<i>x</i>₃ = ... = <i>x</i>_<i>n</i>–1<i>x_n = x_nx</i>₁ = 1.

99 прямых разбивают плоскость на<i>n</i>частей. Найдите все возможные значения<i>n</i>, меньшие 199.

Имеются семь жетонов с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Докажите, что ни одно семизначное число, составленное посредством этих жетонов, не делится на другое.

Из точки <i>C</i> проведены касательные <i>CA</i> и <i>CB</i> к окружности <i>O</i>. Из произвольной точки <i>N</i> окружности опущены перпендикуляры <i>ND, NE, NF</i> соответственно на прямые <i>A, CA</i> и <i>CB</i>. Докажите, что <i>ND</i> есть среднее геометрическое чисел <i>NE</i> и <i>NF</i>.

Дан отрезок <i>AB</i>. Найдите геометрическое место вершин <i>C</i> остроугольных треугольников <i>ABC</i>.

Докажите, что если квадрат числа начинается с 0,999...9 (100 девяток), то и само число начинается с 0,999...9 (100 девяток).

Для выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>соблюдено условие:<i>AB</i>+<i>CD</i>=<i>BC</i>+<i>DA</i>. Докажите, что окружность, вписанная в$\Delta$<i>ABC</i>, касается окружности, вписанной в$\Delta$<i>ACD</i>.

Если при любом положительном <i>p</i> все корни уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c + p</i> = 0  действительны и положительны, то коэффициент <i>a</i> равен нулю. Докажите.

В трёхгранный угол с вершиной <i>S</i> вписана сфера с центром в точке <i>O</i>.

Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к прямой <i>SO</i>.

Докажите, что  2^<i>n</i> > (1 – <i>x</i>)^<i>n</i> + (1 + <i>x</i>)^<i>n</i>  при целом  <i>n</i> ≥ 2  и  |<i>x</i>| < 1.

Найдите соотношение между <div align="CENTER"> arcsin cos arcsin <i>x</i>  и  arccos sin arccos <i>x</i>. </div>

Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом:<i>a</i>₁— произвольное трёхзначное число,<i>a</i>₂— сумма квадратов его цифр,<i>a</i>₃— сумма квадратов цифр числа<i>a</i>₂и т.д. Докажите, что в последовательности<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,<i>a</i>₃, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.

$\Delta$<i>ABC</i>разбит прямой<i>BD</i>на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в$\Delta$<i>ABD</i>и$\Delta$<i>DBC</i>, больше радиуса окружности, вписанной в$\Delta$<i>ABC</i>.

Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \left\vert\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right.$$\displaystyle {\frac{x-y}{1-xy}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right\vert$ < 1, </div>если |<i>x</i>| < 1 и |<i>y</i>| < 1.

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.

Два человека <i>A</i> и <i>B</i> должны попасть как можно скорее из пункта <i>M</i> в пункт <i>N</i>, расположенный в 15 км от <i>M</i>. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. <i>A</i> отправляется в путь пешком, а <i>B</i> едет на велосипеде до встречи с пешеходом <i>C</i>, идущим из <i>N</i> и <i>M</i>. Дальше <i>B</i> идёт пешком, а <i>C</i> едет на велосипеде до встречи с <i>A</i> и передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в <i>N</i>. Когда должен выйти из <i>N</i> пешеход <i>C</i>, чт...

Докажите, что если ортоцентр делит высоты треугольника в одном и том же отношении, то этот треугольник — правильный.

Два человека <i>A</i> и <i>B</i> должны попасть из пункта <i>M</i> в пункт <i>N</i>, расположенный в 15 км от <i>M</i>. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. <i>A</i> отправляется в путь пешком, а <i>B</i> едет на велосипеде до встречи с пешеходом <i>C</i>, идущим из <i>N</i> и <i>M</i>. Дальше <i>B</i> идёт пешком, а <i>C</i> едет на велосипеде до встречи с <i>A</i> и передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в <i>N</i>. Когда должен выйти из <i>N</i> пешеход <i>C</i>, чтобы <i>A&lt...