Олимпиадные задачи из источника «1953 год» для 10 класса - сложность 3-4 с решениями
На бесконечной шахматной доске стоит конь. Найти все клетки, куда он может попасть за 2<i>n</i> ходов.
Даны уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 (1) и – <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> (2). Доказать, что если <i>x</i><sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub> – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень <i>x</i><sub>3</sub> уравнения ½ <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, что либо <i>x</i><sub>1</sub> ≤ <i>x</i><sub>3</sub> ≤ <i>x</i><sub>2</sub>, либо <i>x</i><sub>1</sub> ≥ <i>x</i><sub>3</sub> ≥ <i>x</i><sub>2</sub>.
В плоскости дан треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>1</sub> соответственно углы α<sub>3</sub>, α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>. Через точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub> проводятся прямые, образующие с &l...
1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определённого места, то полученное 1953-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.
<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>d</i>— длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через<i>S</i>его площадь. Доказать, что<div align="CENTER"> <i>S</i>$\displaystyle \le$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(<i>a</i> + <i>b</i>)(<i>c</i> + <i>d</i> ). </div>
Доказать неравенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$. </div>