Олимпиадные задачи из источника «1954 год» для 1-9 класса - сложность 2 с решениями
Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при помощи двоек и единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел каждого класса получалось число, в написании которого содержится не менее двух троек.
Известно, что модули всех корней уравнений <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0, <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0 меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения
<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0 также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.
Дан отрезок <i>OA</i>. Из конца отрезка <i>A</i> выходит 5 отрезков <i>AB</i><sub>1</sub>, <i>AB</i><sub>2</sub>, <i>AB</i><sub>3</sub>, <i>AB</i><sub>4</sub>, <i>AB</i><sub>5</sub>. Из каждой точки <i>B</i><sub>i</sub> могут выходить ещё пять новых отрезков или ни одного нового отрезка и т.д. Может ли число свободных концов построенных отрезков равняться 1001? Под свободным концом отрезка понимаем точку, принадлежащую только одному отрезку (кроме точки <i>O</i>).
Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?
Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках <i>A, B, C, D</i>, что <i>AB = CD, AD = BC</i> и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в <i>A</i> и <i>C</i>, равна сумме чисел в клетках с центрами <i>B</i> и <i>D</i>.
Найти все действительные решения уравнения <i>x</i>² + 2<i>x</i> sin(<i>xy</i>) + 1 = 0.
Дано число123456789101112131415...99100. Вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.
Найти все решения системы уравнений <i>x</i>(1 – 2<sup>–<i>n</i></sup>) + <i>y</i>(1 – 2<sup>–<i>n</i>–1</sup>) + <i>z</i>(1 – 2<sup>–<i>n</i>–2</sup>) = 0, где <i>n</i> = 1, 2, 3, 4, ...
Из произвольной внутренней точки<i>O</i>выпуклого<i>n</i>-угольника опущены перпендикуляры на стороны (или их продолжения). На каждом перпендикуляре от точки<i>O</i>по направлению к стороне построен вектор, длина которого равна половине длины той стороны, на которую опущен перпендикуляр. Определить сумму построенных векторов.
Из квадрата размером 3 на 3 вырезать одну фигуру, которая представляет развёртку полной поверхности куба, длина ребра которого равна 1.
Определить наибольшее значение отношения трёхзначного числа к числу, равному сумме цифр этого числа.
Существуют ли целые числа <i>m</i> и <i>n</i>, удовлетворяющие уравнению <i>m</i>² + 1954 = <i>n</i>²?
Определить четырёхзначное число, если деление этого числа на однозначное производится по следующей схеме:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="RIGHT"> ×</td> <td align="LEFT"> </td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT"> </td> <td...