Олимпиадные задачи из источника «1954 год» для 8 класса - сложность 1-2 с решениями
Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при помощи двоек и единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел каждого класса получалось число, в написании которого содержится не менее двух троек.
Известно, что модули всех корней уравнений <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0, <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0 меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения
<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0 также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.
Дан отрезок <i>OA</i>. Из конца отрезка <i>A</i> выходит 5 отрезков <i>AB</i><sub>1</sub>, <i>AB</i><sub>2</sub>, <i>AB</i><sub>3</sub>, <i>AB</i><sub>4</sub>, <i>AB</i><sub>5</sub>. Из каждой точки <i>B</i><sub>i</sub> могут выходить ещё пять новых отрезков или ни одного нового отрезка и т.д. Может ли число свободных концов построенных отрезков равняться 1001? Под свободным концом отрезка понимаем точку, принадлежащую только одному отрезку (кроме точки <i>O</i>).
Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках <i>A, B, C, D</i>, что <i>AB = CD, AD = BC</i> и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в <i>A</i> и <i>C</i>, равна сумме чисел в клетках с центрами <i>B</i> и <i>D</i>.
Дан лист клетчатой бумаги. Каждый узел сетки обозначается некоторой буквой. Каким наименьшим числом различных букв нужно обозначить эти узлы, чтобы на отрезке (идущем по сторонам клеток - прим.ред.), соединяющем два узла, обозначенных одинаковыми буквами, находился, по крайней мере, один узел, обозначенный одной из других букв?
Дано число123456789101112131415...99100. Вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.
Определить наибольшее значение отношения трёхзначного числа к числу, равному сумме цифр этого числа.
Существуют ли целые числа <i>m</i> и <i>n</i>, удовлетворяющие уравнению <i>m</i>² + 1954 = <i>n</i>²?
Определить четырёхзначное число, если деление этого числа на однозначное производится по следующей схеме:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="RIGHT"> ×</td> <td align="LEFT"> </td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT"> </td> <td...
Даны два выпуклых многоугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>и<i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>3</sub><i>B</i><sub>4</sub>...<i>B</i><sub>n</sub>. Известно, что<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>=<i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>=<i>B</i><sub>2</su...