Олимпиадные задачи из источника «1956 год» для 4-11 класса - сложность 2 с решениями
На продолжениях сторон <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub>A</i><sub>1</sub> правильного <i>n</i>-угольника (<i>n</i> ≥ 5) <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> построить точки <i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, ..., <i>B<sub>n</sub></i> так, чтобы <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> было перпендикулярно к <i>A</i><sub>1<...
Все точки данного отрезка<i>AB</i>проектируются на всевозможные прямые, проходящие через данную точку<i>O</i>. Найти геометрическое место этих проекций.
Груз весом 13,5 т упакован в ящики так, что вес каждого ящика не превосходит 350 кг. Докажите, что этот груз можно перевезти на 11 полуторатонках. (Весом пустого ящика можно пренебречь.)
64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.
Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>4</sub>, <i>A</i><sub>5</sub>, <i>A</i><sub>6</sub> делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из <i>A</i><sub>1</sub> провёден луч <i>l</i><sub>1</sub> в направлении <i>A</i><sub>2</sub>, из <i>A</i><sub>2</sub> – луч <i>l</i><sub>2</sub> в направлении <i>A</i><sub>3</sub>, ..., из <i>A</i><sub>6</sub> – луч <i>l</i><sub>6</sub> в направлении <i>A</i><s...
Точка<i>O</i>— центр круга, описанного около треугольника<i>ABC</i>. Точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>симметричны точке<i>O</i>относительно сторон треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что все высоты треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>проходят через точку<i>O</i>, а все высоты треугольника<i>ABC</i>проходят через центр круга, описанного около треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>.
Докажите, что система уравнений <i>x</i><sub>1</sub> – <i>x</i><sub>2</sub> = <i>a</i>, <i>x</i><sub>3</sub> – <i>x</i><sub>4</sub> = <i>b</i>, <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> = 1 имеет хотя бы одно положительное решение тогда и только тогда, когда |<i>a</i>| + |<i>b</i>| < 1.
Дана замкнутая пространственная ломаная. Некоторая плоскость пересекает все её звенья:<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>в точке<i>B</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>— в точке<i>B</i><sub>2</sub>, ...,<i>A</i><sub>n</sub><i>A</i><sub>1</sub>-- в точке<i>B</i><sub>n</sub>. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{A_1B_1}{B_1A_2}}$$\displaystyle {\frac{A_2B_2}{B_2A_3}}$...$\displaystyle {\frac{A_nB_n}{B_nA_1}}$ = 1. </div>
Даны положительные числа<i>h</i>,<i>s</i><sub>1</sub>,<i>s</i><sub>2</sub>и расположенный в пространстве треугольник<i>ABC</i>. Сколькими способами можно выбрать точку<i>D</i>так, чтобы в тетраэдре<i>ABCD</i>высота, опущенная из вершины<i>D</i>, была равна<i>h</i>, а площади граней<i>ACD</i>и<i>BCD</i>соответственно<i>s</i><sub>1</sub>и<i>s</i><sub>2</sub>(исследовать все возможные случаи)?
В выпуклом четырехугольнике<i>ABCD</i>взят четырехугольник<i>KLMN</i>, образованный центрами тяжести треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>DBA</i>и<i>CDA</i>. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника<i>ABCD</i>, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника<i>KLMN</i>.
На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).
Пусть <i>a, b, c, d, l</i> – целые числа. Докажите, что если дробь <img width="34" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78068/problem_78068_img_2.gif"> сократима на число <i>k</i>, то <i>ad – bc</i> делится на <i>k</i>.
На окружности длины 15 выбрано<i>n</i>точек, так что для каждой имеется ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояние измеряется по окружности). Докажите, что<i>n</i>делится на 10.
Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 1956 так, чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояния измеряются по окружности)?
Найти все числа, на которые может быть сократима при целом значении <i>l</i> дробь <img width="35" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78063/problem_78063_img_2.gif">.
Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная. Известно, что она пересекает каждое свое звено ровно один раз. Докажите, что число звеньев чётно.
Найти все двузначные числа, сумма цифр которых не меняется при умножении числа на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.