Олимпиадные задачи из источника «1957 год» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Разбить число 1957 на 12 целых положительных слагаемых <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>12</sub> так, чтобы произведение <i>a</i><sub>1</sub>!<i>a</i><sub>2</sub>!...<i>a</i><sub>12</sub>! было минимально.
Школьник едет на кружок на трамвае, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно также поедет в трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (<b>Примечание.</b>Проезд в трамвае стоил 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)
В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.
При каких целых <i>n</i> число 20<sup><i>n</i></sup> + 16<sup><i>n</i></sup> – 3<sup><i>n</i></sup> – 1 делится на 323?
Школьник едет на олимпиаду на метро, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно поедет на трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Проезд в метро стоил 50 коп., в трамвае – 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)
Решить уравнение <i>x</i>³ – [<i>x</i>] = 3.
Известно, что <i>ax</i><sup>4</sup> + <i>bx</i>³ + <i>cx</i>² + <i>dx + e</i>, где <i>a, b, c, d, e</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 7.
Доказать, что все числа <i>a, b, c, d, e</i> делятся на 7.
Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.