Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» - сложность 2-5 с решениями

На<i>n</i>карточках написаны с разных сторон числа — на 1-й: 0 и 1; на 2-й: 1 и 2; ...; на<i>n</i>-й:<i>n</i>- 1 и<i>n</i>.

Один человек берёт из стопки несколько карточек и показывает второму одну сторону каждой из них. Затем берёт из стопки еще одну карточку и тоже показывает одну сторону.

Указать все случаи, в которых второй может определить число, написанное на обороте последней показанной ему карточки.

Стороны параллелограмма равны<i>a</i>и<i>b</i>. Найти отношение объёмов тел, полученных при вращении параллелограмма вокруг стороны<i>a</i>и вокруг стороны<i>b</i>.

В школе изучают 2<i>n</i> предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78166/problem_78166_img_2.gif"> .

(Мы считаем, что ученик <i>p</i> учится лучше ученика <i>q</i>, если у <i>p</i> оценки по всем предметам не ниже, чем у <i>q</i>, а по некоторым предметам – выше.)

В многоугольнике существуют такие точки<i>A</i>и<i>B</i>, что любая соединяющая их ломаная, проходящая внутри или по границе многоугольника, имеет длину больше

1. Доказать, что периметр многоугольника больше 2.

Решить в натуральных числах уравнение   <i>x</i>^2<i>y</i> + (<i>x</i> + 1)^2<i>y</i> = (<i>x</i> + 2)^2<i>y</i>.