Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» для 5-10 класса - сложность 2-4 с решениями

Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2<i>n</i>, начав и кончив свой путь в данном узле.

Доказать, что число различных её маршрутов равно  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78237/problem_78237_img_2.gif">

Собралось <i>n</i> человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

6<i>n</i>-значное число делится на 7. Последнюю цифру перенесли в начало. Доказать, что полученное число также делится на 7.

Число<i>A</i>делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2<i>A</i>представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10,  2<i>A</i>=<i>a</i>₁+<i>a</i>₂+ ... +<i>a_k</i>,  то из чисел<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a_k</i>можно выбрать часть, сумма которых равна<i>A</i>.

Найти геометрическое место центров прямоугольников, описанных около данного остроугольного треугольника.