Олимпиадные задачи из источника «1960 год» для 2-9 класса - сложность 3-5 с решениями
Дана окружность и точка <i>A</i> внутри неё.
Найдите геометрическое место вершин <i>C</i> всевозможных прямоугольников <i>ABCD</i>, где точки <i>B</i> и <i>D</i> лежат на окружности.
Собралось <i>n</i> человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
Число<i>A</i>делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2<i>A</i>представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10, 2<i>A</i>=<i>a</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub>+ ... +<i>a<sub>k</sub></i>, то из чисел<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a<sub>k</sub></i>можно выбрать часть, сумма которых равна<i>A</i>.
В квадрате со стороной 100 расположено<i>N</i>кругов радиуса 1, причём всякий отрезок длины 10, целиком расположенный внутри квадрата, пересекает хотя бы один круг. Доказать, что<i>N</i>$\ge$400.<i>Примечание Problems.Ru</i>: Рассматриваются <i>открытые</i> круги, то есть круги без ограничивающей их окружности.
Дан пятиугольник<i>ABCDE</i>.<i>AB</i>=<i>BC</i>=<i>CD</i>=<i>DE</i>,$\angle$<i>B</i>=$\angle$<i>D</i>= 90<sup><tt>o</tt></sup>. Доказать, что пятиугольниками, равными данному, можно замостить плоскость.
Улитка ползёт с непостоянной скоростью. Несколько человек наблюдало за ней по очереди в течение 6 минут. Каждый начинал наблюдать раньше, чем кончал предыдущий, и наблюдал ровно 1 минуту. За эту минуту улитка проползла ровно 1 м. Доказать, что за все 6 минут улитка могла проползти самое большее 10 м.
Доказать, что любой несамопересекающийся пятиугольник лежит по одну сторону от хотя бы одной своей стороны.
В десятичной записи целого числа <i>A</i> все цифры, кроме первой и последней, нули, первая и последняя – не нули, число цифр – не меньше трёх.
Доказать, что <i>A</i> не является точным квадратом.
Дан выпуклый многоугольник и точка<i>O</i>внутри него. Любая прямая, проходящая через точку<i>O</i>, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и<i>O</i>— центр симметрии.
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде <i>p + n</i><sup>2<i>k</i></sup> ни при каких простых <i>p</i> и целых <i>n</i> и <i>k</i>.
Даны отрезки<i>AB</i>,<i>CD</i>и точка<i>O</i>. Конец отрезка называется "отмеченным", если прямая, проходящая через него и точку<i>O</i>, не пересекает другой отрезок. Сколько может быть отмеченных концов?
<i>M</i>и<i>N</i>— точки пересечения двух окружностей с центрами<i>O</i><sub>1</sub>и<i>O</i><sub>2</sub>. Прямая<i>O</i><sub>1</sub><i>M</i>пересекает1-ю окружность в точке<i>A</i><sub>1</sub>, а2-ю в точке<i>A</i><sub>2</sub>. Прямая<i>O</i><sub>2</sub><i>M</i>пересекает1-ю окружность в точке<i>B</i><sub>1</sub>, а2-ю в точке<i>B</i><sub>2</sub>. Доказать, что прямые<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>и<i>MN...