Олимпиадные задачи из источника «1962 год» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию.
Доказать, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.
Как надо расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость была наибольшей?
На данной прямой<i>l</i>, проходящей через центр<i>O</i>данной окружности, фиксирована точка<i>C</i>(расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки<i>A</i>и<i>A'</i>расположены на окружности по одну сторону от<i>l</i>так, что углы, образованные прямыми<i>AC</i>и<i>A'C</i>с прямой<i>l</i>, равны. Обозначим через<i>B</i>точку пересечения прямых<i>AA'</i>и<i>l</i>. Доказать, что положение точки<i>B</i>не зависит от точки<i>A</i>.
Даны 2<sup>n</sup>конечных последовательностей из нулей и единиц, причём ни одна из них не является началом никакой другой. Доказать, что сумма длин этих последовательностей не меньше<i>n</i><sup> . </sup>2<sup>n</sup>.
Как надо расположить числа 1, 2, ..., 2<i>n</i> в последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub>, чтобы сумма |<i>a</i><sub>1</sub> – <i>a</i><sub>2</sub>| + |<i>a</i><sub>2</sub> – <i>a</i><sub>3</sub>| + ... + |<i>a</i><sub>2<i>n</i>–1</sub> – <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub>| + |<i>a</i><sub>2<i>n</i></sub> – <i>a</i><sub>1</sub>| была наибольшей?
Школьник в течение учебного года должен решать ровно по 25 задач за каждые идущие подряд 7 дней. Время, необходимое на решение одной задачи (любой), не меняется в течение дня, но меняется в течение учебного года по известному школьнику закону и всегда меньше 45 минут. Школьник хочет затратить на решение задач в общей сложности наименьшее время. Доказать, что для этого он может выбрать некоторый день недели и в этот день (каждую неделю) решать по 25 задач.
Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...,<i>a</i><sub>n</sub>=<i>a</i><sub>n - 1</sub>+<i>a</i><sub>n - 2</sub>,....
На сторонах квадрата, как на основаниях, построены во внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники с острым углом при вершине. Доказать, что получившуюся фигуру нельзя разбить на параллелограммы.
Доказать, что в прямоугольнике площади 1 можно расположить непересекающиеся круги так, чтобы сумма их радиусов была равна 1962.
Дана система уравнений:
<img width="20" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_2.gif"><img width="247" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_3.gif">
Какие значения может принимать <i>x</i><sub>25</sub>?
<i>Конём</i> называется фигура, ход которой состоит в перемещении на <i>n</i> клеток по горизонтали и на 1 по вертикали (или наоборот). Конь стоит на некотором поле бесконечной шахматной доски. При каких <i>n</i> он может попасть на любое заданное поле?