Олимпиадные задачи из источника «1963 год» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями

Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в300^<tt>o</tt>каждая, чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов. <i>Примечание</i>: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.

Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.

Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?

Дан произвольный треугольник<i>ABC</i>и точка<i>X</i>вне его.<i>AM</i>,<i>BN</i>,<i>CQ</i>— медианы треугольника<i>ABC</i>. Доказать, что площадь одного из треугольников<i>XAM</i>,<i>XBN</i>,<i>XCQ</i>равна сумме площадей двух других.

Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.

Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.

Положительные числа<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>обладают тем свойством, что<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arctg</i> <i>y</i> + <i>arctg</i> <i>z</i> < $\displaystyle \pi$. </div>Доказать, что сумма этих чисел больше их произведения.

Какое наибольшее число клеток может пересечь прямая, проведённая на листе клетчатой бумаги размером<i>m</i>×<i>n</i>клеток?