Олимпиадные задачи из источника «1964 год» для 3-7 класса - сложность 2 с решениями
При каких натуральных<i>a</i>существуют такие натуральные числа<i>x</i>и<i>y</i>, что(<i>x</i>+<i>y</i>)<sup>2</sup>+ 3<i>x</i>+<i>y</i>= 2<i>a</i>?
В квадрате со стороной длины 1 выбрано 102 точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Доказать, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше, чем 1/100.
Собрались 2<i>n</i>человек, каждый из которых знаком не менее чем с<i>n</i>присутствующими. Доказать, что можно выбрать из них четырёх человек и рассадить их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со своими знакомыми (<i>n</i>$\ge$2).
На отрезке <i>AB</i> выбрана произвольно точка <i>C</i> и на отрезках <i>AB, AC</i> и <i>BC</i>, как на диаметрах, построены окружности Ω<sub>1</sub>, Ω<sub>2</sub> и Ω<sub>3</sub>. Через точку <i>C</i> проводится произвольная прямая, пересекающая окружность Ω<sub>1</sub> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а окружности Ω<sub>2</sub> и Ω<sub>3</sub> в точках <i>R</i> и <i>S</i> соответственно. Доказать, что <i>PR = QS</i>.
Известно, что при любом целом <i>K</i> ≠ 27 число <i>a – K</i><sup>1964</sup> делится без остатка на 27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.
Известно, что при любом целом <i>K</i> ≠ 27 число <i>a – K</i>³ делится на 27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.
Последовательность <i>a</i><sub>0</sub>, <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... образована по закону: <i>a</i><sub>0</sub> = <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub>a</i><sub><i>n</i>–1</sub> + 1. Доказать, что число <i>a</i><sub>1964</sub> не делится на 4.
Доказать, что сумма цифр числа, являющегося точным квадратом, не может равняться 5.
На данной окружности выбраны диаметрально противоположные точки<i>A</i>и<i>B</i>и третья точка<i>C</i>. Касательная, проведённая к окружности в точке<i>A</i>, и прямая<i>BC</i>пересекаются в точке<i>M</i>.
Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке<i>C</i>, делит пополам отрезок<i>AM</i>.