Олимпиадные задачи из источника «1964 год» для 4-8 класса - сложность 2-3 с решениями
В <i>n</i> мензурок налиты <i>n</i> разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)
Внутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>7</sub>взята произвольно точка<i>O</i>. Обозначим через<i>H</i><sub>1</sub>,<i>H</i><sub>2</sub>,...,<i>H</i><sub>7</sub>основания перпендикуляров, опущенных из точки<i>O</i>на стороны<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>,...,<i>A</i><sub>7</sub><i>A</i><sub>1</sub>соответственно. Известно, что точки<i>H</i>&l...
На квадратном поле размерами99×99, разграфленном на клетки размерами1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго игрока первый всегда может выиграть.
Даны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, лежащие на одной прямой, и точка<i>O</i>вне этой прямой. Обозначим через<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>3</sub>центры окружностей, описанных около треугольников<i>OAB</i>,<i>OAC</i>,<i>OBC</i>. Доказать, что точки<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>3</sub>и<i>O</i>лежат на одной окружности.
В<i>n</i>стаканах достаточно большой вместительности налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько имеется в этом последнем. При каких<i>n</i>можно в конечное число шагов слить воду в один стакан?
При каких натуральных<i>a</i>существуют такие натуральные числа<i>x</i>и<i>y</i>, что(<i>x</i>+<i>y</i>)<sup>2</sup>+ 3<i>x</i>+<i>y</i>= 2<i>a</i>?
Через противоположные вершины<i>A</i>и<i>C</i>четырёхугольника<i>ABCD</i>проведена окружность, пересекающая стороны<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и<i>AD</i>соответственно в точках<i>M</i>,<i>N</i>,<i>P</i>и<i>Q</i>. Известно, что<i> BM = BN = DP = DQ = R </i>, где<i>R</i>— радиус данной окружности.
Доказать, что в таком случае сумма углов<i>B</i>и<i>D</i>данного четырёхугольника равна120<sup><tt>o</tt></sup>.
В квадрате со стороной длины 1 выбрано 102 точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Доказать, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше, чем 1/100.
Собрались 2<i>n</i>человек, каждый из которых знаком не менее чем с<i>n</i>присутствующими. Доказать, что можно выбрать из них четырёх человек и рассадить их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со своими знакомыми (<i>n</i>$\ge$2).
На отрезке <i>AB</i> выбрана произвольно точка <i>C</i> и на отрезках <i>AB, AC</i> и <i>BC</i>, как на диаметрах, построены окружности Ω<sub>1</sub>, Ω<sub>2</sub> и Ω<sub>3</sub>. Через точку <i>C</i> проводится произвольная прямая, пересекающая окружность Ω<sub>1</sub> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а окружности Ω<sub>2</sub> и Ω<sub>3</sub> в точках <i>R</i> и <i>S</i> соответственно. Доказать, что <i>PR = QS</i>.
Известно, что при любом целом <i>K</i> ≠ 27 число <i>a – K</i><sup>1964</sup> делится без остатка на 27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.
Известно, что при любом целом <i>K</i> ≠ 27 число <i>a – K</i>³ делится на 27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.
Рассмотрим суммы цифр всех чисел от 1 до 1000000 включительно. У полученных чисел вновь рассмотрим сумму цифр и так далее, пока не получим миллион однозначных чисел. Каких чисел больше среди них – единиц или двоек?
В шестиугольнике<i>ABCDEF</i>все углы равны. Доказать, что длины сторон такого шестиугольника удовлетворяют соотношениям:<i>a</i><sub>1</sub>-<i>a</i><sub>4</sub>=<i>a</i><sub>5</sub>-<i>a</i><sub>2</sub>=<i>a</i><sub>3</sub>-<i>a</i><sub>6</sub>.
Решить в целых числах уравнение <img width="141" height="87" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78517/problem_78517_img_2.gif"> = <i>m</i>.
Найти все такие натуральные числа <i>n</i>, что число (<i>n</i> – 1)! не делится на <i>n</i>².
Последовательность <i>a</i><sub>0</sub>, <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... образована по закону: <i>a</i><sub>0</sub> = <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub>a</i><sub><i>n</i>–1</sub> + 1. Доказать, что число <i>a</i><sub>1964</sub> не делится на 4.
На листе бумаги проведено 11 горизонтальных и 11 вертикальных прямых, точки пересечения которых называются <i>узлами, звеном</i>" мы будем называть отрезок прямой, соединяющий два соседних узла одной прямой. Какое наименьшее число звеньев надо стереть, чтобы после этого в каждом узле сходилось не более трёх звеньев?
Доказать, что сумма цифр числа, являющегося точным квадратом, не может равняться 5.
На данной окружности выбраны диаметрально противоположные точки<i>A</i>и<i>B</i>и третья точка<i>C</i>. Касательная, проведённая к окружности в точке<i>A</i>, и прямая<i>BC</i>пересекаются в точке<i>M</i>.
Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке<i>C</i>, делит пополам отрезок<i>AM</i>.