Олимпиадные задачи из источника «1964 год» для 5-9 класса - сложность 2-3 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>BC</i> равна полусумме двух других сторон. Через точку <i>A</i> и середины <i>B', C'</i> сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дана система из<i>n</i>точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.

В <i>n</i> мензурок налиты <i>n</i> разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно ¹/_<i>n</i> от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)

На клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все звенья которой равны.

Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.

В треугольнике<i>ABC</i>сторона<i>BC</i>равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла<i>A</i>перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.

Доказать, что любое чётное число 2<i>n</i>$\ge$0 может быть единственным образом представлено в виде2<i>n</i>= (<i>x</i>+<i>y</i>)²+ 3<i>x</i>+<i>y</i>, где<i>x</i>и<i>y</i>— целые неотрицательные числа.

Внутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₇взята произвольно точка<i>O</i>. Обозначим через<i>H</i>₁,<i>H</i>₂,...,<i>H</i>₇основания перпендикуляров, опущенных из точки<i>O</i>на стороны<i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>A</i>₂<i>A</i>₃,...,<i>A</i>₇<i>A</i>₁соответственно. Известно, что точки<i>H</i>&l...

На квадратном поле размерами99×99, разграфленном на клетки размерами1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго игрока первый всегда может выиграть.

Даны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, лежащие на одной прямой, и точка<i>O</i>вне этой прямой. Обозначим через<i>O</i>₁,<i>O</i>₂,<i>O</i>₃центры окружностей, описанных около треугольников<i>OAB</i>,<i>OAC</i>,<i>OBC</i>. Доказать, что точки<i>O</i>₁,<i>O</i>₂,<i>O</i>₃и<i>O</i>лежат на одной окружности.

В<i>n</i>стаканах достаточно большой вместительности налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько имеется в этом последнем. При каких<i>n</i>можно в конечное число шагов слить воду в один стакан?

При каких натуральных<i>a</i>существуют такие натуральные числа<i>x</i>и<i>y</i>, что(<i>x</i>+<i>y</i>)²+ 3<i>x</i>+<i>y</i>= 2<i>a</i>?

Через противоположные вершины<i>A</i>и<i>C</i>четырёхугольника<i>ABCD</i>проведена окружность, пересекающая стороны<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и<i>AD</i>соответственно в точках<i>M</i>,<i>N</i>,<i>P</i>и<i>Q</i>. Известно, что<i> BM = BN = DP = DQ = R </i>, где<i>R</i>— радиус данной окружности.

Доказать, что в таком случае сумма углов<i>B</i>и<i>D</i>данного четырёхугольника равна120^<tt>o</tt>.

В квадрате со стороной длины 1 выбрано 102 точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Доказать, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше, чем 1/100.

Собрались 2<i>n</i>человек, каждый из которых знаком не менее чем с<i>n</i>присутствующими. Доказать, что можно выбрать из них четырёх человек и рассадить их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со своими знакомыми (<i>n</i>$\ge$2).

На отрезке <i>AB</i> выбрана произвольно точка <i>C</i> и на отрезках <i>AB, AC</i> и <i>BC</i>, как на диаметрах, построены окружности Ω₁, Ω₂ и Ω₃. Через точку <i>C</i> проводится произвольная прямая, пересекающая окружность Ω₁ в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а окружности Ω₂ и Ω₃ в точках <i>R</i> и <i>S</i> соответственно. Доказать, что  <i>PR = QS</i>.

Известно, что при любом целом  <i>K</i> ≠ 27  число  <i>a – K</i>¹⁹⁶⁴  делится без остатка на  27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ <i>BD</i>, а также <i>BN</i> и <i>DQ</i> на диагональ <i>AC</i>.

Доказать, что четырёхугольники <i>ABCD</i> и <i>MNPQ</i> подобны.

См.<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78518">задачу 4 для 8 класса</a>. Кроме того, доказать, что если длины отрезков<i>a</i>₁,...,<i>a</i>₆удовлетворяют соотношениям:<i>a</i>₁-<i>a</i>₄=<i>a</i>₅-<i>a</i>₂=<i>a</i>₃-<i>a</i>₆, то из этих отрезков можно построить равноугольный шестиугольник.

Известно, что при любом целом  <i>K</i> ≠ 27  число  <i>a – K</i>³  делится на  27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.

Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел не является степенью никакого целого числа.

Решить в положительных числах систему:<div align="CENTER"> $\displaystyle \left{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\ y^z&=&x,\ z^x&=&y. \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\ y^z&=&x,\ z^x&=&y. \end{array}$ </div>

Рассмотрим суммы цифр всех чисел от 1 до 1000000 включительно. У полученных чисел вновь рассмотрим сумму цифр и так далее, пока не получим миллион однозначных чисел. Каких чисел больше среди них – единиц или двоек?

В шестиугольнике<i>ABCDEF</i>все углы равны. Доказать, что длины сторон такого шестиугольника удовлетворяют соотношениям:<i>a</i>₁-<i>a</i>₄=<i>a</i>₅-<i>a</i>₂=<i>a</i>₃-<i>a</i>₆.

Решить в целых числах уравнение   <img width="141" height="87" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78517/problem_78517_img_2.gif"> = <i>m</i>.

Найти все такие натуральные числа <i>n</i>, что число  (<i>n</i> – 1)!  не делится на <i>n</i>².