Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 1-5 с решениями

Дан выпуклый четырёхугольник<i> ABMC </i>, в котором<i> AB=BC </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/108679/problem_108679_img_2.gif"> BAM = </i>30<i>^o </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/108679/problem_108679_img_2.gif"> ACM= </i>150<i>^o </i>. Докажите, что<i> AM </i>– биссектриса угла<i> BMC </i>.

Каждой паре чисел <i>x</i> и <i>y</i> поставлено в соответствие некоторое число <i>x</i><i>y</i>. Найдите 19931935, если известно, что для любых трёх чисел <i>x, y, z</i>  выполнены тождества:  <i>x</i><i>x</i> = 0  и  <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i><i>y</i>) + <i>z</i>.

У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?

Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

Найдите <i>x</i>₁₀₀₀, если  <i>x</i>₁ = 4,  <i>x</i>₂ = 6,  и при любом натуральном  <i>n</i> ≥ 3  <i>x_n</i> – наименьшее составное число, большее   2<i>x</i>_<i>n</i>–1 – <i>x</i>_<i>n</i>–2.

Для двух данных различных точек плоскости<i>A</i>и<i>B</i>найдите геометрическое место таких точек<i>C</i>, что треугольник<i>ABC</i>остроугольный, а его угол<i>A</i> - средний по величине.Комментарий. Под<i>средним по величине</i>углом мы понимаем угол, который<i>не больше</i>одного из углов, и<i>не меньше</i>другого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.