Олимпиадные задачи из источника «8 класс» - сложность 1-4 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AK</i>, медиана <i>BL</i> и высота <i>CM</i>. Треугольник <i>KLM</i> – равносторонний.

Докажите, что треугольник <i>ABC</i> – равносторонний.

Покажите, что в условиях задачи <a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=105100">105100</a> нет способа, гарантирующего Грише успех за 18 попыток.

Лёша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Считается, что он отгадал, если одну цифру он назвал правильно, а в другой ошибся не более чем на единицу (например, если задумано число 65, то 65, 64 и 75 подходят, а 63, 76 и 56 – нет). Придумайте способ, гарантирующий Грише успех за 22 попытки (какое бы число ни задумал Лёша).

Даны шесть слов:

   ЗАНОЗА

   ЗИПУНЫ

   КАЗИНО

   КЕФАЛЬ

   ОТМЕЛЬ

   ШЕЛЕСТ

За один шаг можно заменить любую букву в любом из этих слов на любую другую (например, за один шаг можно получить из слова ЗАНОЗА слово ЗКНОЗА. Какое наименьшее число шагов нужно, чтобы сделать все слова одинаковыми (допускаются бессмысленные)?

Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 200 и высотой 100 клеток. Его закрашивают по клеткам, начав с левой верхней и идя по спирали (дойдя до края или уже закрашенной части, поворачивают направо, см. рис.). Какая клетка будет закрашена последней? (Укажите номер её строки и столбца. Например, нижняя правая клетка стоит в 100-й строке и 200-м столбце.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/105096/problem_105096_img_2.png"></div>