Олимпиадные задачи из источника «2003 год» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями
Для положительных чисел <i>x, y, z</i> выполнено равенство <sup><i>x</i>²</sup>/<sub><i>y</i></sub> + <sup><i>y</i>²</sup>/<sub><i>z</i></sub> + <sup><i>z</i>²</sup>/<sub><i>x</i></sub> = <sup><i>x</i>²</sup>/<sub><i>z</i></sub> + <sup><i>y</i>²</sup>/<sub><i>x</i></sub> + <sup><i>z</i>²</sup>/<sub><i>y</i></sub>. Докажите, что хотя бы два из чисел <i>x, y, z</i> равны между собой.
По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.
Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, что у каждого из уравнений <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0, <i>ax</i> + <i>bx – c</i> = 0, <i>ax</i>² – <i>bx + c</i> = 0, <i>ax</i>² – <i>bx – c</i> = 0 оба корня – целые?
Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рисунке - одного радиуса, треугольник - равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника - диаметр окружности). Какой из головастиков имеет бо'льшую площадь? <img src="/storage/problem-media/105150/problem_105150_img_2.gif">