Олимпиадные задачи из источника «2015 год» для 2-9 класса - сложность 1-3 с решениями

Докажите, что в таблице 8×8 нельзя расставить натуральные числа от 1 до 64 (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата 2×2 вида  <img align="middle" src="/storage/problem-media/65205/problem_65205_img_2.png">  было выполнено равенство  |<i>ad – bc</i>| = 1.

Единичный квадрат разрезан на <i>n</i> треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной ¹/_<i>n</i>.

На основании <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> взяли произвольную точку <i>X</i>, а на боковых сторонах – точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что <i>XPBQ</i> – параллелограмм. Докажите, что точка <i>Y</i>, симметричная точке <i>X</i> относительно <i>PQ</i>, лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Проведены высота <i>AH</i> и медиана <i>CM</i>. Обозначим точку их пересечения через <i>P</i>. Высота, проведённая из вершины <i>B</i> треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки <i>H</i> на прямую <i>CM</i>, в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>CQ</i> и <i>BP</i> перпендикулярны.

Клетки бесконечного клетчатого листа бумаги раскрасили в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Пусть <i>X</i> – треугольник площади <i>S</i> с вершинами в узлах сетки. Покажите, что есть такой подобный <i>X</i> треугольник с вершинами в узлах сетки, что площадь его белой части равна площади чёрной части и равна <i>S</i>.

В турнире по футболу участвует 2<i>n</i> команд  (<i>n</i> > 1).  В каждом туре команды разбиваются на <i>n</i> пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели  2<i>n</i> – 1  тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0 очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.

По целому числу <i>a</i> построим последовательность  <i>a</i>₁ = <i>a</i>,  <i>a</i>₂ = 1 + <i>a</i>₁,  <i>a</i>₃ = 1 + <i>a</i>₁<i>a</i>₂,  <i>a</i>₄ = 1 + <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃,  ... (каждое следующее число на 1 превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности ее соседних членов  <i>a</i>_<i>n</i>+1 – <i>a_n</i>  – ква...

Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?

Точки <i>O</i> и <i>I</i> – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Две равные окружности касаются сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i>, <i>BC</i> соответственно; кроме этого, они касаются друг друга в точке <i>K</i>. Оказалось, что <i>K</i> лежит на прямой <i>OI</i>. Найдите ∠<i>BAC</i>.

Каждый день Фрёкен Бок испекает квадратный торт размером 3×3. Карлсон немедленно вырезает себе из него четыре квадратных куска размером 1×1 со сторонами, параллельными сторонам торта (не обязательно по линиям сетки 3×3). После этого Малыш вырезает себе из оставшейся части торта квадратный кусок со сторонами, также параллельными сторонам торта. На какой наибольший кусок торта может рассчитывать Малыш вне зависимости от действий Карлсона?

По кругу в некотором порядке расставлены все натуральные числа от 1 до 1000 таким образом, что каждое из чисел является делителем суммы двух своих соседей. Известно, что рядом с числом <i>k</i> стоят два нечётных числа. Какой чётности может быть число <i>k</i>?

Существует ли такое натуральное число <i>n</i>, что числа <i>n, n</i>², <i>n</i>³ начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>, в котором  ∠<i>A</i> = 45°,  проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁. Биссектриса угла <i>BAA</i>₁ пересекает прямую <i>B</i>₁<i>A</i>₁ в точке <i>D</i>, а биссектриса угла <i>CAA</i>₁ пересекает прямую <i>C</i>₁<i>A</i>₁ в точке <i>E</i>. Найдите угол между прямыми <i>BD</i> и <i>CE</i>.

Будем называть натуральное число <i>почти квадратом</i>, если это либо точный квадрат, либо точный квадрат, умноженный на простое число.

Могут ли 8 почти квадратов идти подряд?

Миша заметил, что на электронном табло, показывающем курс доллара к рублю (4 цифры, разделенные десятичной запятой), горят те же самые четыре <i>различные</i> цифры, что и месяц назад, но в другом порядке. При этом курс вырос ровно на 20%. Приведите пример того, как такое могло произойти.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> отметили точку <i>E</i> так, что  <i>CD = CE</i>.

Докажите, что прямая <i>DE</i> перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков <i>AE</i> и <i>BC</i>.

Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?

Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при эт...