Олимпиадные задачи из источника «2017 год» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями

Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?

Даны две непостоянные прогрессии (<i>a_n</i>) и (<i>b_n</i>), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что  <i>a</i>₁ = <i>b</i>₁,  <i>a</i>₂ : <i>b</i>₂ = 2  и

<i>a</i>₄ : <i>b</i>₄ = 8.  Чему может быть равно отношение  <i>a</i>₃ : <i>b</i>₃?

На вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, касающейся стороны <i>AC</i> в точке <i>S</i>, нашлась такая точка <i>Q</i>, что середины отрезков <i>AQ</i> и <i>QC</i> также лежат на вписанной окружности. Докажите, что <i>QS</i> – биссектриса угла <i>AQC</i>.

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.

У Васи есть камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой?

Квадратный трёхчлен  <i>x</i>² + <i>bx + c</i>  имеет два действительных корня. Каждый из трёх его коэффициентов увеличили на 1.

Могло ли оказаться, что оба корня трёхчлена также увеличились на 1?

Найдите все такие пары натуральных чисел <i>a</i> и <i>k</i>, что для всякого натурального <i>n</i>, взаимно простого c <i>a</i>, число  <i>a</i>^{<i>kⁿ</i>+1} – 1  делится на <i>n</i>.

На плоскости даны треугольник <i>ABC</i> и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.