Олимпиадные задачи из источника «2017 год» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
При каких натуральных <i>n</i> для каждого целого <i>k ≥ n</i> найдётся кратное <i>n</i> число с суммой цифр <i>k</i>?
В треугольнике <i>ABC</i> c углом <i>A</i>, равным 45°, проведена медиана <i>AM</i>. Прямая <i>b</i> симметрична прямой <i>AM</i> относительно высоты <i>BB</i><sub>1</sub>, а прямая <i>c</i> симметрична прямой <i>AM</i> относительно высоты <i>CC</i><sub>1</sub>. Прямые <i>b</i> и <i>c</i> пересеклись в точке <i>X</i>. Докажите, что <i>AX = BC</i>.
Петя раскрасил каждую клетку квадрата 1000×1000 в один из 10 цветов. Также он придумал такой 10-клеточный многоугольник Ф, что при любом способе положить его по границам клеток на раскрашенный квадрат, все 10 накрытых им клеток будут разного цвета. Обязательно ли Ф – прямоугольник?
Таблица размером 2017×2017 заполнена ненулевыми цифрами. Среди 4034 чисел, десятичные записи которых совпадают со строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число <i>p</i>, а оставшееся число на <i>p</i> не делится. Найдите все возможные значения <i>p</i>.
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>D</i>, что <i>BD = CD</i>, ∠<i>BDC</i> = 120°. Вне треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>E</i>, что <i>AE = CE</i>, ∠<i>AEC</i> = 60° и точки <i>B</i> и <i>E</i> находятся в разных полуплоскостях относительно <i>AC</i>. Докажите, что ∠<i>AFD</i> = 90°, где <i>F</i> – середина отрезка <i>BE</i>.
Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны 80 человек, среди которых один – преступник, еще один – свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих 80 человек, и если среди приглашенных есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за 12 дней?
Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?
Даны две непостоянные прогрессии (<i>a<sub>n</sub></i>) и (<i>b<sub>n</sub></i>), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что <i>a</i><sub>1</sub> = <i>b</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> : <i>b</i><sub>2</sub> = 2 и
<i>a</i><sub>4</sub> : <i>b</i><sub>4</sub> = 8. Чему может быть равно отношение <i>a</i><sub>3</sub> : <i>b</i><sub>3</sub>?
На гранях единичного куба отметили восемь точек, которые служат вершинами меньшего куба.
Найдите все значения, которые может принимать длина ребра этого куба.
Три велосипедиста ездят в одном направлении по круглому треку длиной 300 метров. Каждый из них движется со своей постоянной скоростью, все скорости различны. Фотограф сможет сделать удачный снимок велосипедистов, если все они окажутся на каком-либо участке трека длиной <i>d</i> метров. При каком наименьшем <i>d</i> фотограф рано или поздно заведомо сможет сделать удачный снимок?
Пусть <i>a</i> – положительный корень уравнения <i>x</i><sup>2017</sup> – <i>x</i> – 1 = 0, а <i>b</i> – положительный корень уравнения <i>y</i><sup>4034</sup> – <i>y</i> = 3<i>a</i>.
а) Сравните <i>a</i> и <i>b</i>.
б) Найдите десятый знак после запятой числа |<i>a – b</i>|.
На вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, касающейся стороны <i>AC</i> в точке <i>S</i>, нашлась такая точка <i>Q</i>, что середины отрезков <i>AQ</i> и <i>QC</i> также лежат на вписанной окружности. Докажите, что <i>QS</i> – биссектриса угла <i>AQC</i>.
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.
У Васи есть камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой?
На плоскости даны треугольник <i>ABC</i> и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.