Олимпиадные задачи из источника «2016/2017» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна <sup>π</sup>/<sub>2</sub>. Докажите, что cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.
Прямой круговой конус с радиусом основания <i>R</i> и высотой <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66011/problem_66011_img_2.gif"> положили боком на плоскость и покатили так, что его вершина осталась неподвижна. Сколько оборотов сделает его основание до момента, когда конус вернется в исходное положение?
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что 3<sup><i>n</i></sup> + 2·17<sup><i>n</i></sup> является квадратом некоторого натурального числа?
Решите уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>f</i>(<i>x</i>), если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66009/problem_66009_img_2.gif">
Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.
Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.
Могут ли три различных числа вида 2<sup><i>n</i></sup> + 1, где <i>n</i> – натуральное, быть последовательными членами геометрической прогрессии?
Существует ли натуральное число, меньшее ста, которое можно представить в виде суммы двух квадратов различных натуральных чисел двумя различными способами?
В остроугольном треугольнике <i>АBC</i> через центр <i>I</i> вписанной окружности и вершину <i>А</i> провели прямую, пересекающую описанную окружность в точке <i>P</i>. Найдите <i>IP</i>, если ∠<i>А</i> = α, а радиус описанной окружности равен <i>R</i>.
Решите в целых числах неравенство: <i>x</i>² < 3 – 2cos π<i>x</i>.
Решите уравнение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65994/problem_65994_img_2.gif">
Сто положительных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке.
Какие числа могут быть записаны?
Кодовый замок откроется, если в клетках квадрата размером 4×4 набрать числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2×2 была кратна 17. Можно ли открыть такой замок?
Пусть <i>a, b, c, d</i> – действительные числа, удовлетворяющие системе
<sup><i>a</i></sup>/<i><sub>b</sub> + <sup>b</sup></i>/<i><sub>c</sub> + <sup>c</sup></i>/<i><sub>d</sub> + <sup>d</sup></i>/<sub><i>a</i></sub> = 6,
<sup><i>a</i></sup>/<i><sub>c</sub> + <sup>b</sup></i>/<i><sub>d</sub> + <sup>c</sup></i>/<i><sub>a</sub> + <sup>d</sup></i>/<sub><i>b</i></sub> = 8.
Какие значения может принимать выражение <sup><i>a</i></sup>/<i>...
Число 1047 при делении на <i>A</i> дает остаток 23, а при делении на <i>A</i> + 1 – остаток 7. Найдите A.
Диагонали четырёхугольника <i>АВСD</i> пересекаются в точке <i>О, М</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>ВС</i> и <i>AD</i> соответственно. Отрезок <i>MN</i> делит площадь четырёхугольника пополам. Найдите отношение <i>ОМ</i> : <i>ОN</i>, если <i>AD</i> = 2<i>BC</i>.
(sin <i>x</i>, sin <i>y</i>, sin <i>z</i>) – возрастающая арифметическая прогрессия. Может ли последовательность (cos <i>x</i>, cos <i>y</i>, cos <i>z</i>) также являться арифметической прогрессией?
Можно ли поставить в ряд все натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы каждые два соседних числа отличались либо на 2, либо в два раза?
На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству <i>x</i>²<i>y – y</i> ≥ 0.